Question

如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C是半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，連結(jié)BD交AC、OC于點(diǎn)E、F．
（1）在圖中與△BOF相似的三角形有

 

個(gè)；
（2）求證：BE=2AD；
（3）求

DE

BE

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用相似三角形的判定方法結(jié)合圓周角定理得出即可；
（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出△ACG≌△BCE（ASA），進(jìn)而求出即可；
（3）利用已知首先判斷△DHE∽△BCE，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）解：與△BOF相似的三角形有△BAD；△EAD；△BEC共3個(gè)．
故答案為：3；

（2）證明：如圖，延長(zhǎng)AD與BC相交于G，
∵點(diǎn)C是半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，
∴∠CBE=∠GAC，
在△ACG和△BCE中
∵

∠GAC=∠CBE AC=BC ∠ACG=∠BCE

∴△ACG≌△BCE（ASA）
∴BE=AG，而AG=2AD，
∴BE=2AD．

（3）解：如圖，連接OD交AC于點(diǎn)H，
則OD⊥AC，可得：DH∥BC，
故△DHE∽△BCE，
故

DE

BE

=

DH

BC

設(shè)BC=2x，則OD=OB=

2

x，
故OH=x，DH=（

2

-1）x，
則

DE

BE

=

2 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確利用圓周角定理得出對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．