Question

16．正方形CEDF的頂點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、BC、AC上．
（1）如圖，若tanB=2，則$\frac{BE}{BC}$的值為$\frac{1}{3}$；
（2）將△ABC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，連接BB′、CC′．若$\frac{CC'}{BB'}=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，則tanB的值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得ED=EC，∠CED=90°，再在Rt△BDE中，利用正切的定義得到DE=2BE，則CE=BE，所以$\frac{BE}{BC}$=$\frac{1}{3}$；
（2）連結(jié)DC、DC′，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DB=DB′，DC=DC′，∠BDB′=∠CDC′，則可判斷△DBB′∽△DCC′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{DB}{DC}$=$\frac{CC'}{BB'}=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，則可設(shè)DC=3$\sqrt{2}$x，BD=5x，然后利用正方形性質(zhì)得DE=3x，接著利用勾股定理計(jì)算出BE=4x，最后根據(jù)正切的定義求解．

解答 解：（1）∵四邊形CEDF為正方形，
∴ED=EC，∠CED=90°，
在Rt△BDE中，∵tanB=$\frac{DE}{BE}$=2，
∴DE=2BE，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BE}{BE+2BE}$=$\frac{1}{3}$；
（2）連結(jié)DC、DC′，如圖，
∵△ABC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，
∴DB=DB′，DC=DC′，∠BDB′=∠CDC′，
即$\frac{DB}{DC}$=$\frac{DB′}{DC′}$，
∴△DBB′∽△DCC′，
∴$\frac{DB}{DC}$=$\frac{CC'}{BB'}=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，
設(shè)DC=3$\sqrt{2}$x，BD=5x，
∵四邊形CEDF為正方形，
∴DE=3x，
在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{D{B}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（5x）^{2}-（3x）^{2}}$=4x，
∴tanB=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{3x}{4x}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線(xiàn)構(gòu)造相似三角形；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)和得到對(duì)應(yīng)角相等．解決（2）的關(guān)鍵是證明△DBB′∽△DCC′得到$\frac{DB}{DC}$=$\frac{CC'}{BB'}=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$．