Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，AD平分∠CAB交BC于D，E為射線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AD交射線AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF．

（1）求DB的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，設(shè)AE＝x，S△BDF＝y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（S△BDF表示△BDF的面積）

（3）當(dāng)AE為何值時(shí)，△BDF是等腰三角形．（請(qǐng)直接寫出答案，不必寫出過(guò)程）

Answer 1

【答案】（1）BC＝4；（2）y＝﹣x+12（0≤x≤6）；（3）當(dāng)AE的值為0或12﹣4或12+4時(shí)，△BDF是等腰三角形．

【解析】

（1）根據(jù)含30度角的直角三角形可得AB、BC的長(zhǎng)，由AD平分∠CAB可得∠CAD＝∠CAB＝30°，解直角三角形可得CD的長(zhǎng)，則DB＝BC﹣CD；

（2）如圖1中，作DH⊥AB于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DC＝DH＝2，再根據(jù)已知AD平分∠CAB，EF⊥AD證出∠AEG＝∠AFG，則AE＝AF＝x，BF＝12﹣x，由三角形的面積計(jì)算公式即可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式，注意x的取值范圍；

（3）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，△BDF是等腰三角形，②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，BD＝BF時(shí)，△BDF是等腰三角形，③當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長(zhǎng)線上，BF＝BD時(shí)，△BDF是等腰三角形，分別求出AE的值即可.

（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，

∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝12，BC＝AC＝6，

∵AD平分∠CAB交BC于D，

∴∠CAD＝∠CAB＝30°，

∴CD＝ACtan30°＝2，

∴DB＝BC﹣CD＝6﹣2＝4；

（2）如圖1中，作DH⊥AB于H．

∵DA平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，

∴DC＝DH＝2，

∵EF⊥AD，

∴∠AGE＝∠AGF＝90°，

∵∠EAG＝∠FAG，∠AEG+∠EAG＝90°，∠AFG+∠FAG＝90°，

∴∠AEG＝∠AFG，

∴AE＝AF＝x，

∴BF＝12﹣x，

∴S△BDF＝BFDH＝（12﹣x）2＝﹣x+12（0≤x≤6），

即y=﹣x+12（0≤x≤6）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，△BDF是等腰三角形，此時(shí)x＝0，即AE＝0．

②如圖2中，當(dāng)BD＝BF時(shí)，

∵BD＝4，

∴BF＝4，

∴AE＝AF＝AB﹣BF＝12﹣4，

③如圖2中，當(dāng)BF＝BD=4時(shí)，

∴AE＝AF′＝AB+BF′＝12+4，

綜上所述，當(dāng)AE的值為0或12﹣4或12+4時(shí)，△BDF是等腰三角形．

故答案為：（1）BC＝4；（2）y＝﹣x+12（0≤x≤6）；（3）當(dāng)AE的值為0或12﹣4或12+4時(shí)，△BDF是等腰三角形．