Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A（-3，2），連接AB，以AB為邊向上作正方形ABCD．
（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y；
（3）E是點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接AE，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AE的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可得OE=3，AE=2，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=90°，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠BCF，再利用“角角邊”證明△ABE和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=AE，CF=BE，然后求解即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論整理即可得解；
（3）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)表示出點(diǎn)E，再利用勾股定理列式表示出AE，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答即可．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，
∵點(diǎn)A（-3，2），
∴OE=3，AE=2，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，

∠ABE=∠BCF ∠AEB=∠BFC=90° AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BF=AE，CF=BE，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，
∴OE=BE=3，OF=BF=AE=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3）；

（2）由（1）可知，BF=AE=2，CF=BE，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），
∴BF=x，CF=y，
∴OB=y-3=x-2，
∴y=x+1；

（3）∵E是點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-x，-x-1），
∴AE=

(-x+3)2+(-x-1-2)2

=

2x2+18

，
∴當(dāng)x=0時(shí)，AE_最小=

18

=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形．