Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B是x軸上一動點，且點A（-3，2），連接AB，以AB為邊向上作正方形ABCD．
（1）當(dāng)點B與點O重合時，求點C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為（x，y），請用含x的代數(shù)式表示y；
（3）E是點C關(guān)于原點的對稱點，連接AE，當(dāng)點B在x軸上運(yùn)動時，求AE的最小值．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點A作AE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x軸于F，根據(jù)點A的坐標(biāo)可得OE=3，AE=2，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=90°，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠BCF，再利用“角角邊”證明△ABE和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=AE，CF=BE，然后求解即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論整理即可得解；
（3）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)表示出點E，再利用勾股定理列式表示出AE，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可．

解答：解：（1）如圖，過點A作AE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x軸于F，
∵點A（-3，2），
∴OE=3，AE=2，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，

∠ABE=∠BCF ∠AEB=∠BFC=90° AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BF=AE，CF=BE，
∵點B與點O重合，
∴OE=BE=3，OF=BF=AE=2，
∴點C的坐標(biāo)為（2，3）；

（2）由（1）可知，BF=AE=2，CF=BE，
∵點C的坐標(biāo)為（x，y），
∴BF=x，CF=y，
∴OB=y-3=x-2，
∴y=x+1；

（3）∵E是點C關(guān)于原點的對稱點，
∴點E的坐標(biāo)為（-x，-x-1），
∴AE=

(-x+3)2+(-x-1-2)2

=

2x2+18

，
∴當(dāng)x=0時，AE_最小=

18

=3

2

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形．