Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，AB=4，BC=6（如圖），點(diǎn)P為射線DC上的動(dòng)點(diǎn)（不與D和C重合），AP交BD于點(diǎn)E，連BP．
（1）求tanC的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段DC上時(shí)，如果△ADE與△BPC相似，求DP的長(zhǎng)；
（3）設(shè)DP=x，試用x的代數(shù)式表示

S△PAD

S△PBC

的值，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過(guò)D作DH⊥BC，則可得ABHD為矩形，從而結(jié)合題意得出DH、CH的長(zhǎng)度，在RT△DHC中可得出tanC的值；
（2）先判斷出，∠ADB=∠C，根據(jù)△ADE與△BPC相似得出

AD

DE

=

PC

BC

或

AD

DE

=

BC

CP

，設(shè)DP=x，則PC=5-x，然后可得出方程，解出即可得出答案；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)P作MN⊥AD分別交直線BC和直線AD于M和N，表示出

S△PAD

S△PBC

的值即可．

解答：解：（1）過(guò)D作DH⊥BC，
則可得ABHD為矩形，DH=AB=4，BH=AD=3，
從而可得CH=BC-BH=3，
又∵DH⊥BC，
∴tanC=

DH

HC

=

4

3

；

（2）∵AD=3，AB=4，AD∥BC，AB⊥BC，
∴BD=5，而DH=4，HC=3，DH⊥BC，
∴DC=5，DC=BD，∠DBC=∠C，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠C，
∵△ADE與△BPC相似，∠ADB=∠C，
∴

AD

DE

=

PC

BC

或

AD

DE

=

BC

CP

，
延長(zhǎng)AP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
設(shè)DP=x，則PC=5-x，
∵AD∥BC，
∴

AD

CM

=

DP

PC

，即

3

CM

=

x

5-x

，
∴CM=

15-3x

x

，
又∵AD∥BC，
∴

AD

BM

=

DE

BE

，即

3

6+ 15-3x x

=

DE

5-DE

，
∴DE=

5x

2x+5

，
∴

3

5x 2x+5

=

5-x

6

或

3

5x 2x+5

=

6

5-x

，
即5x²+11x+90=0或2x²+5x-25=0，
而5x²+11x+90=0無(wú)解；
故可得2x²+5x-25=0，
解得：x₁=

5

2

，x₂=-5（舍去），
即可得DP=

5

2

；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，過(guò)P作MN⊥AD分別交直線BC和直線AD于M和N，
則

S△PAD

S△PBC

=

AD•PN

BC•PM

=

3

6

•

DP

PC

=

1

2

×

x

5-x

=

x

10-2x

（0＜x＜5），

②當(dāng)點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)P作MN⊥AD分別交直線BC和直線AD于M和N，
則

S△PAD

S△PBC

=

AD•PN

BC•PM

=

3

6

•

DP

PC

=

1

2

×

x

x-5

=

x

2x-10

（x＞5）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于相似性的綜合題，涉及了矩形的性質(zhì)、直角梯形、勾股定理，三角形的面積，難點(diǎn)在第二問(wèn)，需要分類討論，點(diǎn)P在CD上及點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上，要求我們熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大．