Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點A（-1，0）和點B，與y軸交于點C（0，2），對稱軸為直線x=1，對稱軸交x軸于點E．
（1）求該拋物線的表達式，并寫出頂點D的坐標；
（2）設(shè)點F在拋物線上，如果四邊形AEFD是梯形，求點F的坐標；
（3）聯(lián)結(jié)BD，設(shè)點P在線段BD上，若△EBP與△ABD相似，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)值相等的亮點關(guān)于對稱軸對稱，可得B點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行線的一次項的系數(shù)相等，可得EF的解析式，根據(jù)解方程組，可得答案；
（3）根據(jù)兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得PB的長，根據(jù)勾股定理，可得P點的橫坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系，可得P點坐標．

解答 解：（1）由A、B關(guān)于x=1對稱，得B（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c （a≠0），將A、B、C點坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2，頂點坐標為D（1，$\frac{8}{3}$）；
（2）①當AE∥DF時，不存在，舍去；
②當AD∥EF時，AD的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
EF的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}}\\{y=\frac{4\sqrt{5-4}}{3}}\end{array}\right.$，
F點坐標為（$\sqrt{5}$，$\frac{4\sqrt{5}-4}{3}$），
（3）∠PBE=∠DBA，如圖：

BD的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，P在BD上，設(shè)P（m，-$\frac{4}{3}$m+4）
DB=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{10}{3}$，BA=3-（-1）=4，BE=3-1=2．
①當△PBE∽△DBA時，$\frac{PB}{DB}$=$\frac{BE}{BA}$，
即$\frac{PB}{\frac{10}{3}}$=$\frac{2}{4}$，解得BP=$\frac{5}{3}$，
（3-m）²+（$\frac{4}{3}$m-4）²=$\frac{25}{9}$，
解得m=2，m=4（不符合題意，舍），
當m=2時，-$\frac{4}{3}$m+4=$\frac{4}{3}$，
P₁（2，$\frac{4}{3}$）；
②當△EBP∽△DBA時，
$\frac{EB}{DB}$=$\frac{BP}{BA}$，
即$\frac{2}{\frac{10}{3}}$=$\frac{BP}{4}$，
解得BP=$\frac{12}{5}$，
（3-m）²+（$\frac{4}{3}$m-4）²=$\frac{144}{25}$，
解得m=$\frac{39}{25}$，m=$\frac{111}{25}$（不符合題意，舍），
當m=$\frac{39}{25}$時，-$\frac{4}{3}$m+4=$\frac{48}{25}$，
P₂（$\frac{39}{25}$，$\frac{48}{25}$），
綜上所述：P點坐標為P₁（2，$\frac{4}{3}$），P₂（$\frac{39}{25}$，$\frac{48}{25}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱得出B點坐標是解題關(guān)鍵；利用平行線的一次項的系數(shù)相等得出EF的解析式是解題關(guān)鍵；利用兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似得出PB的長是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．