Question

實(shí)數(shù)x、y滿足

x+y=3a-1 x2+y2=4a2-2a+2

，求xy的最小值和最大值．

Answer 1

分析：根據(jù)不等式的性質(zhì)知：2（x²+y²）≥（x+y）²，據(jù)此求出a的取值范圍-1≤a≤3；然后再根據(jù)完全平方公式求出
xy=

1

2

[（x+y）²-（x²+y²）]=

1

2

（5a²-4a-1），令f（a）=5a²-4a-1，這是關(guān)于a的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求其最值．

解答：解：∵2（x²+y²）≥（x+y）²，
∴2（4a²-2a+2）≥（3a-1）²，
即a²-2a-3≤0，
∴-1≤a≤3；
xy=

1

2

[（x+y）²-（x²+y²）]=

1

2

（5a²-4a-1）
令f（a）=5a²-4a-1，則f(a)=5(a-

2

5

)2-

9

5

，
故當(dāng)a=

2

5

時(shí)，f（a）有最小值-

9

5

，當(dāng)a=3時(shí)有最大值32．
故xy的最小值為-

9

10

，最大值為16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式及二次函數(shù)的最值．求二次函數(shù)的最值時(shí)，借助于完全平方公式，將一元二次方程的一般形式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，便于求最值．