【題目】(本題10分) 如圖,已知:AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,CD是⊙O的切線,AD⊥CD于點D.E是AB延長線上一點,CE交⊙O于點F,連結(jié)OC,AC.

(1)求證:AC平分∠DAO.
(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.
①求∠OCE的度數(shù).
②若⊙O的半徑為2 ,求線段EF的長.

【答案】
(1)

解:∵直線與⊙O相切,

∴OC⊥CD;

又∵AD⊥CD,

∴AD//OC,

∴∠DAC=∠OCA;

又∵OC=OA,

∴∠OAC=∠OCA,

∴∠DAC=∠OAC;

∴AC平分∠DAO.


(2)

解:①∵AD//OC,∠DAO=105°,

∴∠EOC=∠DAO=105°;

∵∠E=30°,

∴∠OCE=45°.

②作OG⊥CE于點G,可得FG=CG,

∵OC=2,∠OCE=45°.

∴CG=OG=2,

∴FG=2;

∵在RT△OGE中,∠E=30°,

∴GE=2,

∴EF=GE-FG=2-2.


【解析】(1)利用了切線的性質(zhì),平行線的判定和性質(zhì),等邊對等角,角平分線的判定即可得證。
(2)①根據(jù)(1)得出的AD//OC,從而得出同位角相等,再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案;②作OG⊥CE于點G,可得FG=CG,根據(jù)等邊對等角得出CG=OG=FG=2,在根據(jù)勾股定理得出GE,從而求出EF=GE-FG.
【考點精析】認真審題,首先需要了解平行線的判定與性質(zhì)(由角的相等或互補(數(shù)量關(guān)系)的條件,得到兩條直線平行(位置關(guān)系)這是平行線的判定;由平行線(位置關(guān)系)得到有關(guān)角相等或互補(數(shù)量關(guān)系)的結(jié)論是平行線的性質(zhì)),還要掌握三角形的內(nèi)角和外角(三角形的三個內(nèi)角中,只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角;直角三角形的兩個銳角互余;三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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