Question

2．已知，直線y=x+b與x，y軸交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于點(diǎn)C，且AC=AB，S△_BOC=4．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若D（-1，0），在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上是否存在一點(diǎn)P，使得S_△PDO=2S_△PBO？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）平移直線y=-x使直線與反比例函數(shù)的圖象交于E、F兩點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)E、F，使得EF=AB？若存在，求出點(diǎn)EF的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)AC=AB可知點(diǎn)A是線段BC的中線，故S_△AOB=S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△BOC=2，再由直線y=x+b與x，y軸交于A、B兩點(diǎn)可用b表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，故可得出b的值，再由AAS定理得出△AOB≌△ADC，故可得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）先由B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出OD及OB的長(zhǎng)，再設(shè)P（m，$\frac{8}{m}$），用m表示出△PDO及△PBO的值，再由S_△PDO=2S_△PBO，求出m的值，進(jìn)而可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，設(shè)平移后的直線y=-x交直線y=x于點(diǎn)G，則OG⊥EF，過點(diǎn)E、F作EI⊥x軸于點(diǎn)I，F(xiàn)K⊥x軸于點(diǎn)K，過點(diǎn)F作FH⊥EI于點(diǎn)H，再由反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱可知點(diǎn)EF關(guān)于直線OG對(duì)稱，由EF=AB=2$\sqrt{2}$可得出GF=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{2}$，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知GH=$\sqrt{2}$，由勾股定理可得出FH的長(zhǎng)，設(shè)E（a，$\frac{8}{a}$），則F（2+a，$\frac{8}{2+a}$），由EF關(guān)于直線y=x對(duì)稱可知a=$\frac{8}{2+a}$，求出a的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接OC，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵AC=AB，
∴點(diǎn)A是線段BC的中線，
∴S_△AOB=S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△BOC=2．
∵直線y=x+b與x，y軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（-b，0），B（0，b），
∴$\frac{1}{2}$b²=2，解得b=-2或b=2（舍去），
∴A（2，0），B（0，-2），
在△AOB與△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BAO=∠CAD\\∠AOB=∠ADC\\ AB=AC\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△ADC（AAS），
∴AD=OA=2，CD=OB=2，
∴C（4，2）．
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{8}{x}$；

（2）∵D（-1，0），B（0，-2），
∴OD=1，OB=2．
設(shè)P（m，$\frac{8}{m}$），
則S_△PDO=$\frac{1}{2}$OD•|$\frac{8}{m}$|=|$\frac{4}{m}$|，
S_△PBO=$\frac{1}{2}$OB•|m|=|m|，
∵S_△PDO=2S_△PBO，
∴|$\frac{4}{m}$|=2|m|，解得m=±$\sqrt{2}$，
∴P₁（$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$），P₂（-$\sqrt{2}$，-4$\sqrt{2}$）；

（3）如圖3所示，∵OB=OA=2，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$/
設(shè)平移后的直線y=-x交直線y=x于點(diǎn)G，則OG⊥EF，過點(diǎn)E、F作EI⊥x軸于點(diǎn)I，F(xiàn)K⊥x軸于點(diǎn)K，過點(diǎn)F作FH⊥EI于點(diǎn)H，
∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴點(diǎn)E、F關(guān)于直線OG對(duì)稱．
∵EF=AB=2$\sqrt{2}$，
∴GF=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{2}$，
∴GH=$\sqrt{2}$，
∴FH=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴設(shè)E（a，$\frac{8}{a}$），則F（2+a，$\frac{8}{2+a}$），
∵E、F關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴a=$\frac{8}{2+a}$，解得a=2或a=-4，
∴E（2，4），F(xiàn)（4，2）或E（-4，-2），F(xiàn)（-2，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及三角形的面積公式等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．