Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的A、B兩點，與x軸相交于點C，連接AO，過點A作AD⊥x軸于點D，且OA=OC=5，cos∠AOD=

3

5

．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）若點E在x軸上（異于點O），且S_△BCO=S_△BCE，求點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用余弦函數(shù)求出OD的長，再利用勾股定理求出AD的長，得到A點坐標，將A點坐標代入反比例函數(shù)解析式即可求出比例系數(shù)，從而得到反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)S_△BCO=S_△BCE，得到

1

2

×OC×BH=

1

2

×CE×BH，再求出OE的長，判斷出E點坐標的位置．

解答：解：（1）∵AD⊥x軸，
∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，
∵cos∠AOD=

DO

AO

=

DO

5

=

3

5

∴DO=3．
∴AD=

AO2-DO2

=4．
∵點A在第一象限內(nèi)，
∴點A的坐標是（3，4）． 
將點A（3，4）代入y=

m

x

（m≠0），

m

3

=4，m=12．
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=

12

x

．
∵OC=5，且點C在x軸負半軸上，
∴點C的坐標是（-5，0），
將點A（3，4）和點C（-5，0）代入y=kx+b（k≠0）得，

3k+b=4 -5k+b=0

，
解得，

k= 1 2 b= 5 2

，
∴該一次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x+

5

2

．
（2）過點B作BH⊥x軸于點H．
∵S_△BCO=S_△BCE，
∴

1

2

×OC×BH=

1

2

×CE×BH，
∴OC=CE=5．
∴OE=OC+CE=5+5=10．
又∵點E在x軸負半軸上，
∴點E的坐標是（-10，0）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，熟悉待定系數(shù)法是解題的關鍵，同時要應用圖象進行解答．