Question

如圖，∠ACB=30°，D為CB上一點(diǎn)，CD=

3

，OD⊥BC于D，交CA于O，以O(shè)為圓心，OD為半徑的圓分別交CA于點(diǎn)E、F，P為線段CF上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、E重合），過P作PQ⊥AC于P，交CB于Q，設(shè)CP=x，四邊形DEPQ的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若四邊形DEPQ的面積是△CDE面積的5倍，判斷此時(shí)△DPQ的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）首先由∠ACB=30°，D為CB上一點(diǎn)，CD=

3

，OD⊥BC于D，即可求得CE的值，然后過點(diǎn)D作DG⊥CA于點(diǎn)G，即可求得PQ的值，再分別從“點(diǎn)P在線段CE上”和“點(diǎn)P在線段EF上”的兩種情況去分析求解，即可求得答案；
（2）首先由四邊形DEPQ的面積是△CDE面積的5倍，可得“點(diǎn)P在線段EF上”，然后可得方程

3

6

x²-

3

4

=5×

3

4

，即可求得x的值，繼而可得QD=QP，又由∠CQP=60°，即可判定△DPQ是等邊三角形．

解答：解：（1）如圖1，∵OD⊥BC，∠ACB=30°，CD=

3

，
∴OD=CD•tan30°=

3

×

3

3

=1，
∴CO=2OD=2，
∴OE=OD=OF=1，
∴CE=CO-OE=2-1=1，
過點(diǎn)D作DG⊥CA于點(diǎn)G，
則DG=CD•sin30°=

3

2

，
∵Rt△CPQ中，∠PCQ=30°，CP=x，
∴PQ=CP•tan30°=

3

3

x，
①當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)C、E重合，
∴0＜CP＜CE，
∴y=S_{四邊形DEPQ}=S_△CDE-S_△CPQ=

1

2

×CE×DG-

1

2

×CP×PQ=

1

2

×1×

3

2

-

1

2

•x•

3

3

x=-

3

6

x²+

3

4

（0＜x＜1），
②當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)E重合，
∴CE＜CP≤CF，
∴y=S_{四邊形DEPQ}=S_△CPQ-S_△CDE=

1

2

×CP×PQ-×CE×DG=

1

2

•x•

3

3

x-

1

2

×1×

3

2

=

3

6

x²-

3

4

（1＜x≤3），（4分）
∴y=

- 3 6 x2+ 3 4   (0＜x＜1) 3 6 x2- 3 4   (1＜x≤3)

；

（2）△DPQ是等邊三角形．
理由：∵S_{四邊形EDPQ}=5S_△CDE＞S_△CDE，
∴點(diǎn)P在線段EF上，
∴S_{四邊形DEPQ}=

3

6

x²-

3

4

，（5分）
∴

3

6

x²-

3

4

=5×

3

4

，
整理，得x²=9，
解得：x=±3（舍負(fù)），
∵x=3，在1＜x≤3的范圍內(nèi)，
∴x=3，
此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，PQ與圓O相切；（6分）
∵OD⊥CB于點(diǎn)D，D在⊙O上，
∴CB切⊙O于點(diǎn)D，
∴QD=QP，
∵∠CQP=60°，
∴△DPQ是等邊三角形．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．