Question

【題目】如圖，拋物線y=與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△O′A′B，點(diǎn)O落到點(diǎn)O′的位置，點(diǎn)A落到點(diǎn)A′的位置．

(1)求點(diǎn)O′和點(diǎn)A′的坐標(biāo)；

(2)將拋物線沿y軸方向平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′，求平移后所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(3)設(shè)(2)中平移后所得拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，與x軸的交點(diǎn)為D，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在平移后所得拋物線上，求出以點(diǎn)C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CD為邊的平行四邊形時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）O′(2，2)，A′(2，1)；（2）；（3）(2，1)，（3，-1）和（-1，-1）．

【解析】

（1）先求出拋物線與x軸和y軸的交點(diǎn)A（-1，0），B（0，2），再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO′=BO=2，O′A′=OA=1，∠OBO′=90°，∠BO′A′=∠BOA=90°，然后利用第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫(xiě)出點(diǎn)O′和點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（2）先判斷點(diǎn)O′在拋物線上，利用拋物線沿y軸方向平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′得到把拋物線向下平移1個(gè)單位，然后利用拋物線的平移規(guī)律寫(xiě)出平移后的拋物線解析式；
（3）先確定C（0，1），利用平行四邊形的性質(zhì)得CD∥MN，討論：當(dāng)N點(diǎn)在x軸上方的拋物線上時(shí)，CN∥DM，此時(shí)N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，N點(diǎn)與A′點(diǎn)重合，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；當(dāng)N點(diǎn)在x軸下方的拋物線上時(shí)，DN∥CM，則點(diǎn)C和點(diǎn)N到x軸的距離相等，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，則解方程得此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)．

解析（1）當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=-1,x=3，則A（-1，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，則B(0，2)，

∵△OAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△O′A′B．

∴BO′=BO=2,O′A′=OA=1，∠OBO′=90°，∠BO′A′=∠BOA= 90°,

∴O′(2，2)，A′(2，1).

(2)∵當(dāng)x=2時(shí)，，

∴點(diǎn)O′在拋物線上，

∵拋物線沿y軸方向平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′，

∴把拋物線向下平移1個(gè)單位，

∴平移后的拋物線解析式為．

(3)當(dāng)x=0時(shí)，，則C(0，1)，

∵以點(diǎn)C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CD為邊的平行四邊形．

∴CD//MN，

當(dāng)N點(diǎn)在x軸上方的拋物線上時(shí)，CN//DM，

此時(shí)N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，N點(diǎn)與A′點(diǎn)重合，N點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1);

當(dāng)N點(diǎn)在x軸下方的拋物線上時(shí)，DN∥CM，則點(diǎn)C和點(diǎn)N到x軸的距離相等，則N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，

當(dāng)y=-1時(shí)，，解得x=3，x=-1，

此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(3，-1)或（-1，-1）．

綜上所述，滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)有(2，1)，（3，-1）和（-1，-1）．