Question

8．已知拋物線的頂點為（0，4）且與x軸交于（-2，0），（2，0）．
（1）直接寫出拋物線解析式；
（2）如圖，將拋物線向右平移k個單位，設(shè)平移后拋物線的頂點為D，與x軸的交點為A、B，與原拋物線的交點為P．當(dāng)k=2$\sqrt{2}$時，點P在直線OD上嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點式，利用待定系數(shù)求拋物線解析式；
（2）利用拋物線平移的規(guī)律得到新拋物線解析式為y=-（x-2$\sqrt{2}$）²+4，則頂點D的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，4），則利用待定系數(shù)法可求出直線OD的解析式為y=$\sqrt{2}$x，再解方程-x²+4=-（x-2$\sqrt{2}$）²+4可確定P點坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，2），然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可判斷點P（$\sqrt{2}$，2）在直線OD上．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-2），
把（0，4）代入得a•2•（-2）=4，解得x=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x+2）（x-2），即y=-x²+4；
（2）當(dāng)k=2$\sqrt{2}$時，點P在直線OD上．理由如下：
把拋物線y=-x²+4向右平移2$\sqrt{2}$個單位所的新拋物線解析式為y=-（x-2$\sqrt{2}$）²+4，則頂點D的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，4），
設(shè)直線OD的解析式為y=kx，
把D（2$\sqrt{2}$，4）代入得2$\sqrt{2}$k=4，解得k=$\sqrt{2}$，
所以直線OD的解析式為y=$\sqrt{2}$x，
解方程-x²+4=-（x-2$\sqrt{2}$）²+4得x=$\sqrt{2}$，則P點坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，2），
當(dāng)x=$\sqrt{2}$時，y=$\sqrt{2}$x=2，
所以點P（$\sqrt{2}$，2）在直線OD上．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．解決本題的關(guān)鍵是確定P點坐標(biāo)．