Question

（本大題有兩題，請(qǐng)同學(xué)們選擇你喜歡且拿手一題解答）
【Ⅰ】如圖，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求AD的長；
（2）當(dāng)△PDC的面積為15平方厘米時(shí)，求t的值；
（3）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2厘米的速度在射線CB上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)M與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M也停止運(yùn)動(dòng)．是否存在t，使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【Ⅱ】我校工會(huì)于“三•八”婦女節(jié)期間組織女職工到國家級(jí)風(fēng)景區(qū)“文成銅鈴山”觀光旅游．下面是領(lǐng)隊(duì)與旅行社導(dǎo)游收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的一段對(duì)話：
【領(lǐng)隊(duì)】組團(tuán)去“文成銅鈴山”旅游每人收費(fèi)是多少？
【導(dǎo)游】如果人數(shù)不超過30人，人均旅游費(fèi)用為360元．
【領(lǐng)隊(duì)】超過30人怎樣優(yōu)惠呢？
【導(dǎo)游】如果超過30人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低5元，但人均旅游費(fèi)用不得低于300元．
我校按旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)組團(tuán)瀏覽“文成銅鈴山”結(jié)束后，共支付給旅行社12400元．設(shè)我校這次參加旅游的共有x人．
請(qǐng)你根據(jù)上述信息，回答下列問題：
（1）我校參加旅游的人數(shù)x的取值范圍是

 

；
（2）我校參加旅游的人每人實(shí)際應(yīng)收費(fèi)

 

元（用含x的代數(shù)式表示）；
（3）求我校這次到“文成銅鈴山”觀光旅游的女職工共有多少人？

Answer 1

分析：【Ⅰ】（1）根據(jù)勾股定理求得AD的長；
（2）表示出PD=12-t，S_△PDC=15，得

5

2

(12-t)=15，求得t的值即可；
（3）假設(shè)存在t，使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．分兩種情況進(jìn)行討論：①若點(diǎn)M在線段CD上，②若點(diǎn)M在射線DB上，從而求得t的值；
【Ⅱ】（1）先根據(jù)旅游的費(fèi)用，求得我校參加旅游的人數(shù)x的取值范圍；
（2）有x人參加旅游，每人的費(fèi)用降低5（x-30）元，人均費(fèi)用[360-5（x-30）]元，
（3）找到等量關(guān)系列出方程，人均費(fèi)用×總?cè)藬?shù)=12400，求出這次到“文成銅鈴山”觀光旅游的女職工共有的人數(shù)．

解答：【Ⅰ】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=5cm，
且∠ADB=90°．
∴AD=

AB2-BD2

=12(cm)．
即AD的長為12cm；（3分）

（2）AP=t，PD=12-t，S△PDC=

1

2

PD•DC=

1

2

×5(12-t)
又由S_△PDC=15，得

5

2

(12-t)=15．
解得，t=6．（4分）

（3）假設(shè)存在t，
使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．
①若點(diǎn)M在線段CD上，
即0≤t≤

5

2

時(shí)，PD=12-t，DM=5-2t，
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC，
即

1

2

×(12-t)(5-2t)=52t²-29t+50=0
解，得t₁=12.5（舍去），t₂=2．（2分）
②若點(diǎn)M在射線DB上，即

5

2

≤t≤12．
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC
得

1

2

(12-t)(2t-5)=52t²-29t+70=0
解，得t 1=

29+ 281

4

，
t 2=

29- 281

4

．（2分）
綜上，存在t的值為2或

29+ 281

4

或

29- 281

4

，
使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．（1分）

【Ⅱ】
解：（1）我校參加旅游的人數(shù)x的取值范圍是x＞30；（2分）

（2）我校參加旅游的人每人實(shí)際應(yīng)收費(fèi)[360-5（x-30）]元（用含x的代數(shù)式表示）；（3分）

（3）依題意，得[360-5•（x-30）]•x=12400，（2分）
化簡(jiǎn)、整理，得x²-102x+2480=0．
解，得x₁=40，x₂=62．（2分）
當(dāng)x₁=40時(shí)，360-5•（x-30）=360-5•（40-30）=310＞300，符合題意．
當(dāng)x₂=62時(shí)，360-5•（x-30）=360-5•（62-30）=200＜300，不符合題意，應(yīng)舍去．
∴x₁=40．（2分）
答：我校這次參加旅游的共有40人．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題是兩個(gè)題目，難度不大，考查了勾股定理、動(dòng)點(diǎn)問題和不等式的實(shí)際應(yīng)用．