Question

（2013•新余模擬）已知拋物線(xiàn)y=x²-2mx+3m²+2m．
（1）若拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求m的值及頂點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷拋物線(xiàn)頂點(diǎn)是否在第三象限的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)上；
（2）是否無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)值，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)一定不在第四象限？說(shuō)明理由；當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí)，列出拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出該函數(shù)的最小函數(shù)值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式用m表示出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)可求出m的值，進(jìn)而得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，再判斷出其頂點(diǎn)坐標(biāo)是否在y=x上即可；
（2）分別根據(jù)當(dāng)m＞0時(shí)，m=0，m＜0時(shí)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)判斷出函數(shù)圖象頂點(diǎn)所在的象限即可，設(shè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，縱坐標(biāo)為n，則n=2m²+2m，再把此式化為頂點(diǎn)式的形式，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：∵y=x²-2mx+3m²+2m=（x-m）²+2m²+2m，
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為（m，2m²+2m），
（1）將（0，0）代入拋物線(xiàn)解析式中解得：m=0或m=-

2

3

，
當(dāng)m=0時(shí)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）
當(dāng)m=-

2

3

時(shí)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

3

，-

4

9

），
∵第三象限的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)為y=x，
∴（0，0）在該直線(xiàn)上，（-

2

3

，-

4

9

）不在該直線(xiàn)上；

（2）∵拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為（m，2m²+2m），
∴①當(dāng)m＞0時(shí)，2m²+2m＞0，此時(shí)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在第一象限；
②當(dāng)m=0時(shí)，2m²+2m=0，此時(shí)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)；
③當(dāng)m＜0時(shí)，若2m²+2m＞0，則頂點(diǎn)坐標(biāo)在第二象限；若2m²+2m＜0，則頂點(diǎn)坐標(biāo)在第三象限，
∴m無(wú)論為何值拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)一定不在第四象限；
設(shè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，縱坐標(biāo)為n，則n=2m²+2m，
∵n=2m²+2m=2（m+

1

2

）²-

1

2

∴當(dāng)m=-

1

2

時(shí)，n有最小值-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的最值，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是解答此題的關(guān)鍵．