Question

如圖，一次函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P，Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相等的速度作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)P沿射線(xiàn)AO運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿線(xiàn)段OB的延長(zhǎng)線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，PQ與AB的所在直線(xiàn)相交于點(diǎn)D．
（1）若AP=1時(shí)，請(qǐng)驗(yàn)證D點(diǎn)是否是線(xiàn)段AB的中心；
（2）若AP=x，△PQB的面積為y，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）過(guò)P作PE⊥AB于E，有人認(rèn)為當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度始終保持不變，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)AP=1時(shí)，D不是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，
理由是：∵一次函數(shù)y=-x+2交x軸于A，交y軸于B，
∴把x=0代入得：y=2，
把y=0代入得：x=2，
∴OA=OB=2，
∵AP=BQ=1，
∴OP=2-1=1，OQ=2+1=3，
則Q（0，3），P（1，0），
設(shè)直線(xiàn)PQ的解析式是y=kx+3，
把P的坐標(biāo)代入得：0=k+3，
k=-3，
∴y=-3x+3，
即，
解得：x=，y=，
即D的坐標(biāo)是（，），
過(guò)D作DH⊥OA于H，
則DH=，OH=，AH=2-=，
∴OH和AH不相等（H不是OA中點(diǎn)），
∴D不是AB中點(diǎn)；

（2）①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，
∵AP=x，OP=2-x，BQ=x，
∴y=BQ×OP=x（2-x）=-x²+x；
②當(dāng)x＞2時(shí)，
∵AP=x，OP=x-2，BQ=x，
∴y=BQ×OP=x（x-2）=x²-x；
即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=；

（3）正確，DE的長(zhǎng)度為定值，且DE=AB=，
理由是：過(guò)P作PF∥OB交AB于F，
∵OA=OB=2，x軸⊥y軸，
∴由勾股定理得：AB=2，
且△AOB，△APE，△FPA都是等腰直角三角形，
∵PE⊥AF，
∴E為AF中點(diǎn)，
∵PF=AP，AP=BQ，
∴BQ=PF，
∵PF∥OB，
∴∠BQD=∠FPD，
∵在△QBD和△PFD中
，
∴△QBD≌△PFD（AAS），
∴BD=DF，
∴DE=DF+FE=BF+AF=AB=，
當(dāng)P在原點(diǎn)的左側(cè)解題過(guò)程類(lèi)似，
即當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度始終保持不變，正確．
分析：（1）求出P、Q的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)PQ的解析式，求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出答案；
（2）分為兩種情況：①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，②當(dāng)x＞2時(shí)，求出OP和BQ，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（3）過(guò)P作PF∥OB交AB于F，得出△AOB、△PEA、△APF都是等腰直角三角形，求出E為AF中點(diǎn)，證△QBD≌△FPD，求出D為BF中點(diǎn)，即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．