Question

如圖，點B、C、D都在半徑為6的⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求弦BD的長；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,垂徑定理的應(yīng)用,扇形面積的計算

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四邊形ABDC為平行四邊形，則∠A=∠D=30°，由圓周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由內(nèi)角和定理可求∠OCA=90°，證明切線；
（2）利用（1）中的切線的性質(zhì)和垂徑定理以及解直角三角形來求BD的長度；
（3）證明△OEB≌△CED，將陰影部分面積問題轉(zhuǎn)化為求扇形OBC的面積．

解答：（1）證明：連接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB，
又∵AC∥BD，
∴四邊形ABDC為平行四邊形，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC
又∵OC是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD，
∴BE=DE，
∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，
∴BE=OBcos30°=3

3

，
∴BD=2BE=6

3

；

（3）解：易證△OEB≌△CED，
∴S_陰影=S_扇形BOC
∴S_陰影=

60π×62

360

=6π．
答：陰影部分的面積是6π．

點評：本題考查了切線的判定，垂徑定理，扇形面積的計算．關(guān)鍵是連接OC，利用內(nèi)角和定理，三角形全等的知識解題．