Question

在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點(diǎn)A且MN∥BC，過點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合），如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P，易證：BD=DP．（無需寫證明過程）
（1）在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；
（2）在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，無需證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,平行四邊形的性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）如答圖2，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△BDF≌△PDA，可以證明BD=DP；
（2）如答圖3，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△BDF≌△PDA，可以證明BD=DP．

解答：題干引論：
證明：如答圖1，過點(diǎn)D作DF⊥MN，交AB于點(diǎn)F，
則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF．

∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BDF與△PDA中，

∠1=∠2 DF=DA ∠DFB=∠DAP=135°

∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．

（1）答：BD=DP成立．
證明：如答圖2，過點(diǎn)D作DF⊥MN，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF．

∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BDF與△PDA中，

∠1=∠2 DF=DA ∠DFB=∠DAP=45°

∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．

（2）答：BD=DP．
證明：如答圖3，過點(diǎn)D作DF⊥MN，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF．

在△BDF與△PDA中，

∠F=∠PAD=45° DF=DA ∠BDF=∠PDA

∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．