Question

（2012•沈河區(qū)模擬）已知⊙O是銳角△ABC的外接圓，AB=5cm，AC=

10

cm，BC．邊上的高AD=3cm．
（1）求△ABC外接圓的半徑．
（2）取

AC

的中點(diǎn)G，連BG交AD于E，試求BE的長(zhǎng)．
（3）若動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)在線段DB上來回勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒，動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)在劣弧BC上勻速運(yùn)動(dòng)，到C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．問是否存在某一時(shí)間（最短時(shí)間）使△MNB與△ADC相似？若存在，試求出MN•MB的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）作BH⊥AC于H，連結(jié)OA，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出DC=1，BD=4，則可判斷△ABC為等腰三角形，所以點(diǎn)O在BH上，在根據(jù)等積法計(jì)算出BH=

3 10

2

，然后再
在Rt△OAH中利用勾股定理可計(jì)算出圓的半徑；
（2）先根據(jù)垂徑定理得到BH與⊙O的交點(diǎn)為G點(diǎn)，再證明Rt△EAH∽R(shí)t△CAD，于是可利用相似比計(jì)算出EH，然后利用BE=BH-EH進(jìn)行計(jì)算；
（3）若存在，則△MNB為直角三角形，由于∠CBN不可能為直角，且∠CBN為銳角時(shí)也不可能等于∠ACD，所以∠CBN=∠CAD，根據(jù)圓周角定理得到N點(diǎn)為AD與⊙O的交點(diǎn)，當(dāng)∠BNM=90°時(shí)，M點(diǎn)在CD上，不滿足條件舍去；當(dāng)∠BMN=90°，即點(diǎn)M、點(diǎn)D重合，得到BM=BD=4，根據(jù)Rt△BMN∽R(shí)tADC，利用相似比計(jì)算出MN，則可得計(jì)算出MN•MB的值．

解答：解：（1）作BH⊥AC于H，連結(jié)OA，如圖，
∵高AD=3，AC=

10

，AB=5
∴DC=

AC2-AD2

=1，BD=

AB2-AD2

=4，
∴BD=BD+CD=5，
∴△ABC為等腰三角形，
∴點(diǎn)O在BH上，
∵

1

2

BH•AC=

1

2

AD•BC，
∴BH=

3 10

2

，
在Rt△OAH中，設(shè)OA=R，則OH=BH-R=

3 10

2

-R，AH=

1

2

AC=

10

2

，
∴OA²=OH²+AH²，
∴R²=（

3 10

2

-R）²+（

10

2

）²，
∴R=

5 10

6

，即△ABC外接圓的半徑為

5 10

6

；

（2）∵BH⊥BC，
∴BH平分弧AC，
∴BH與⊙O的交點(diǎn)為G點(diǎn)，
∵∠EAH=∠CAD，
∴Rt△EAH∽R(shí)t△CAD，
∴

EH

DC

=

AH

AD

，
∴EH=

1× 10 2

3

=

10

6

，
∴BE=BH-EH=

4 10

3

；

（3）存在．
∵△ADC為直角三角形，
而△MNB與△ADC相似，
∴△MNB為直角三角形，
而∠CBN不可能為直角，且∠CBN為銳角時(shí)也不可能等于∠ACD，
∴∠CBN=∠CAD，
∴N點(diǎn)為AD與⊙O的交點(diǎn)，
當(dāng)∠BNM=90°時(shí)，M點(diǎn)在CD上，不滿足條件舍去，
當(dāng)∠BMN=90°，即點(diǎn)M、點(diǎn)D重合，
∴BM=BD=4，
∵Rt△BMN∽R(shí)tADC，
∴

MN

CD

=

BM

AD

，即

MN

1

=

4

3

，
∴MN=

4

3

，
∴MN•MB=

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理和圓周角定理；會(huì)運(yùn)用相似比和勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．