Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c（b≤0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）；直線x=1與拋物線交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，且45°≤∠FAE≤60度．
（1）用b表示點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）請問△BCE的面積是否有最大值？若有，求出這個(gè)最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求E點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)鍵是求出E的縱坐標(biāo)．可將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可得出b，c的關(guān)系式．然后將E點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）的E點(diǎn)坐標(biāo)即可的EF的長，在直角三角形AEF中，不難求出AF的長，可根據(jù)AF的長和∠FAE度數(shù)的取值范圍即可求出EF的取值范圍，即b的取值范圍．
（3）由于三角形BCE的面積無法直接求出，因此可根據(jù)△BCE的面積=梯形OCEF的面積+△EFB的面積-△BOC的面積來得出關(guān)于△BCE的面積和b的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及b的取值范圍即可求出△BCE的面積的最大值．
解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過A（-2，0），
∴c=2b-4
∵點(diǎn)E在拋物線上，
∴y=1+b+c=1+2b-4+b=3b-3，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，3b-3）．

（2）由（1）得EF=3-3b，
∵45°≤∠FAE≤60°，AF=3，
∴1-≤b≤0．

（3）△BCE的面積有最大值，
∵y=x²+bx+c的對稱軸為x=-，A（-2，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2-b，0），
由（1）得C（0，2b-4），
而S_△BCE=S_梯形OCEF+S_△EFB-S_△OCB=（OC+EF）•OF+EF•FB-OB•OC
=[（4-2b）+（3-3b）]×1+（3-3b）（1-b）-（2-b）•（4-2b）
=（b²-3b+2），
∵y=（b²-3b+2）的對稱軸是b=，1-≤b≤0
∴當(dāng)b=1-時(shí)，S_△BCE取最大值，
其最大值為[（1-）²-3（1-）+2]=．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．