Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，點A（-5，0），以O(shè)A為直徑在第二象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連接OB、AB，作點A關(guān)于點B的對稱點D，過點D作x軸垂線，分別交直線OB、x軸于點E、F，點F為垂足，當(dāng)DF=4時，線段EF=$\frac{3}{2}$或6．

Answer 1

分析 分點D在第一、二象限．連接OD，則OD=OA=5，在直角三角形ODF中，可求出OF的長度，從而找出AF的長度，在直角三角形ADF中由勾股定理求出AD及DB的長度，由相似三角形的判定定理找出△DBE∽△DFA，結(jié)合三角形相似的性質(zhì)找出$\frac{DE}{DA}=\frac{DB}{DF}$，套用DE=$\frac{DB•DA}{DF}$得出DE值，再由EF=|DF-DE|得出結(jié)論．

解答 解：①當(dāng)點D在第二象限時，連接OD，
∵點A、點D關(guān)于B點對稱，
∴OD=OA=5．
在Rt△ODF中，OD=5，DF=4，∠DFO=90°，
∴OF=$\sqrt{O{D}^{2}-D{F}^{2}}$=3，
∴AF=OA-OF=2．
∵AO為⊙C的直徑，
∴∠ABO=90°，
∴∠DBE=90°=∠DFA，
又∵∠BDE=∠FDA，
∴△BDE∽△FDA，
∴$\frac{DE}{DA}=\frac{DB}{DF}$．
在Rt△ADF中，AF=2，DF=4，∠AFD=90°，
∴AD=$\sqrt{D{F}^{2}+A{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵OA=OD，且OB⊥AD，
∴AB=DB=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{5}$，
∴DE=$\frac{DB•DA}{DF}$=$\frac{5}{2}$，
∴EF=DF-DE=$\frac{3}{2}$；
②當(dāng)點D在第一象限時，連接OD，
∵AO為直徑，
∴∠ABO=90°=∠DBO．
在△ABO和△DBO中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABO=∠DBO}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DBO（SAS），
∴DO=AO=5，
∴OF=$\sqrt{O{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
DA=$\sqrt{D{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（5+3）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AB=DB=2$\sqrt{5}$．
∵∠DBE=∠DFA=90°，∠BDE=∠FDA，
∴△BDE∽△FDA，
∴$\frac{DE}{DA}=\frac{DB}{DF}$，
∴DE=$\frac{DA•DB}{DF}$=10，
∴EF=DE-DF=10-4=6．
綜上所述：EF的長度為$\frac{3}{2}$或6．
故答案為：$\frac{3}{2}$或6．

點評 本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出DE的長度．本題屬于中檔題，難度不大，但用到的知識點較多，稍顯繁雜，不過好在本題是填空題，可結(jié)合圖形直接尋找DE的長度，降低了難度．