Question

閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內有一點P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù)．
小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉和全等的知識構造△AP′C，連接PP′，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．
請你回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于

150°

．
參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：
（1）如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=2

2

，PB=1，PD=

17

，則∠APB的度數(shù)等于

135°

，正方形的邊長為

13

；
（2）如圖4，在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=2，PB=1，PF=

13

，則∠APB的度數(shù)等于

120°

，正六邊形的邊長為

7

．

Answer 1

分析：閱讀材料：把△APB繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，根據(jù)旋轉的性質可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，然后求出△APP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后求出∠AP′C，即為∠APB的度數(shù)；
（1）把△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△ADP′，根據(jù)旋轉的性質可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，然后判斷出△APP′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即為∠APB的度數(shù)；再求出點P′、P、B三點共線，過點A作AE⊥PP′于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出AE=PE=

1

2

PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列式求出AB即可；
（2）把△APB繞點A逆時針旋轉120°得到△AFP′，根據(jù)旋轉的性質可得P′A=PA，P′F=PB，∠PAP′=120°，然后求出△APP′是底角為30°的等腰三角形，過點A作AM⊥PP′于M，設PP′與AF相交于N，求出AM=1，再求出PP′，∠AP′P=30°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′F=90°，然后求出∠AP′F，即為∠APB的度數(shù)；根據(jù)P′F、AM的長度得到P′F=AM，利用“角角邊”證明△AMN和△FP′N全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=FN，P′N=MN，然后求出MN，在Rt△AMN中，利用勾股定理列式求出AN，然后求出AF即可．

解答：解：閱讀材料：把△APB繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，
由旋轉的性質，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，
∵PP′²+P′C²=3²+4²=25，PC²=5²=25，
∴PP′²+P′C²=PC²，
∴∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故∠APB=∠AP′C=150°；

（1）如圖3，把△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△ADP′，
由旋轉的性質，P′A=PA=2

2

，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′=

2

PA=

2

×2

2

=4，∠AP′P=45°，
∵PP′²+P′D²=4²+1²=17，PD²=

17

²=17，
∴PP′²+P′D²=PD²，
∴∠PP′D=90°，
∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，
故，∠APB=∠AP′D=135°，
∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，
∴點P′、P、B三點共線，
過點A作AE⊥PP′于E，
則AE=PE=

1

2

PP′=

1

2

×4=2，
∴BE=PE+PB=2+1=3，
在Rt△ABE中，AB=

AE2+BE2

=

22+32

=

13

；

（2）如圖4，∵正六邊形的內角為

1

6

×（6-2）•180°=120°，
∴把△APB繞點A逆時針旋轉120°得到△AFP′，
由旋轉的性質，P′A=PA=2，P′F=PB=1，∠PAP′=120°，
∴∠APP′=∠AP′P=

1

2

（180°-120°）=30°，
過點A作AM⊥PP′于M，設PP′與AF相交于N，
則AM=

1

2

PA=

1

2

×2=1，
P′M=PM=

PA2-AM2

=

22-12

=

3

，
∴PP′=2PM=2

3

，
∵PP′²+P′F²=（2

3

）²+1²=13，PF²=

13

²=13，
∴PP′²+P′F²=PF²，
∴∠PP′F=90°，
∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，
故，∠APB=∠AP′F=120°，
∵P′F=AM=1，
∵△AMN和△FP′N中，

∠PP′F=∠AMN=90° ∠P′NF=∠ANM P′F=AM

，
∴△AMN≌△FP′N（AAS），
∴AN=FN，P′N=MN=

1

2

P′M=

3

2

，
在Rt△AMN中，AN=

AM2+MN2

=

12+( 3 2 )2

=

7

2

，
∴AF=2AN=2×

7

2

=

7

．
故答案為：150°；（1）135°，

13

；（2）120°，

7

．

點評：本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，正方形的性質，勾股定理以及勾股定理逆定理的應用，全等三角形的判定與性質，（1）（2）兩問求多邊形的邊長有一定的難度，作輔助線構造出直角三角形與全等三角形是解題的關鍵．