Question

（2012•莆田質(zhì)檢）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點D是射線CA上的一個動點 （不與A、C重合），DE⊥直線AB于E點，點F是BD的中點，過點F作FH⊥直線AB于H點，連接EF，設(shè)AD=x．
（1）①若點D在AC邊上，求FH的長（用含x的式子表示）；
②若點D在射線CA上，△BEF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．
（2）若點D在AC邊上，點P是AB邊上的一個動點，DP與EF相交于O點，當(dāng)DP+FP的值最小時，猜想DO與PO之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，依題意可證△ADE∽△ABC，利用相似比求DE，由中位線定理求FH；
②當(dāng)點D在AC邊上時（如圖1），直接利用三角形面積公式，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，
當(dāng)點D在CA延長線上時（如圖2），由△ADE∽△ABC求DE，AE，再求FH，BE，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）猜想：DO=3PO．作點F關(guān)于AB的對稱點F′，連接FF′則FF′⊥AB于H，連接DF′交EF于O，交AB于P，此時DP+FP的值最小．
連接EF′，可判斷四邊形DEF′F為平行四邊形，DO=OF′，由DE=2HF′，DE∥HF′，可得DP=2PF′，即DO+OP=2（DO-OP），解得DO=3PO．

解答：解：（1）①
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
方法一：sinA=

BC

AB

=

6

10

=

3

5

，
∵∠AED=90°，∴DE=AD•sinA=

3

5

x，
∵∠DEB=90°，F(xiàn)是BD的中點，
∴EF=BF，
∵FH⊥AB，
∴EH=BH
∴FH=

1

2

DE=

3

10

x；

方法二：∵∠AED=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

，
∴

DE

6

=

x

10

，
∴DE=

3

5

x，
∵∠DEB=90°，F(xiàn)是BD的中點，
∴EF=BF
∵FH⊥AB∴EH=BH∴FH=

1

2

DE=

3

10

x，
②∵△ADE∽△ABC，
∴

AE

AC

=

AD

AB

，
∴AE=

4

5

x，
有兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)點D在AC邊上時，如圖1：
∵BE=10-

4

5

x，
∴S=

1

2

BE•FH=

1

2

(10-

4

5

x)•

3

10

x，
∴S=-

3

25

x2+

3

2

x，（0＜x＜8），
（Ⅱ）當(dāng)點D在CA延長線上時，如圖2：
同理得：FH=

1

2

DE=

3

10

x，
∵BE=10+

4

5

x，
∴S=

1

2

BE•FH=

1

2

(10+

4

5

x)•

3

10

x，
∴S=

3

25

x2+

3

2

x，（x＞0），
（2）猜想：DO=3PO，
證明：作點F關(guān)于AB的對稱點F′，連接FF′則FF′⊥AB于H，連接DF′交EF于O，交AB于P，此時DP+FP的值最小時．連接EF′．
∵FH=

1

2

DE，F(xiàn)H=F′H，
∴FF′=DE又∵FF′∥DE，
∴四邊形DEF′F是平行四邊形，
方法一：如圖3，在△DPE與△F′PH中，
∵∠DEP=∠F′HP=90°∠DPE=∠F′PH，
∴△DPE∽△F′PH，
∴

DP

PF′

=

DE

F′H

=2，∴DP=2PF′，
∴DO+PO=2（DO-PO）化簡得：DO=3PO，
方法二：連接OH如圖4：
∵OE=OF，F(xiàn)H=F′H，
∴OH∥EF，且OH=

1

2

EF，
∴△OPH∽△F′PE，
∴

OP

PF，

=

OH

EF，

=

1

2

，∴DO=OF′=3PO，
方法三：取PB的中點M，連接FM如圖5：
∵FH=F′H，FH=

1

2

DE，
∴FF′=DE，又∵FF′∥DE，
∴四邊形DEF′F是平行四邊形，
∴OE=OF，
∵DF=BF，PM=BM，
∴FM∥DP，∴OP=

1

2

FM，FM=

1

2

DP，
∴DP=4PO，
∴DO=3PO．

點評：本題考查了相似形的綜合運用．關(guān)鍵是利用三角形相似求邊長，根據(jù)D點的位置分類求函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)對稱性畫圖，求當(dāng)DP+FP的值最小時的圖形，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形相似求DO與PO之間的數(shù)量關(guān)系．