Question

15．已知圓的半徑為R，試求圓內(nèi)接正三角形、正四邊形、正六邊形的邊長之比．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，通過解直角三角形用R分別表示出它們的邊長，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：如圖①所示，
連接O₁ A，作O₁ E⊥AD于E，
∵O₁ A=R，∠O₁ AE=45°，
∴AE=O₁ A•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，
∴AD=2AE=$\sqrt{2}$R；
如圖②所示：
連接O₂ A，O₂ B，
則O₂ B⊥AC，
∵O₂ A=R，∠O₂ AF=30°，∠AO₂ B=60°，
∴△AO₂ B是等邊三角形，AF=O₂A•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴AB=R，AC=2AF=$\sqrt{3}$R；
∴圓內(nèi)接正三角形、正四邊形、正六邊形的邊長之比$\sqrt{3}$R：$\sqrt{2}$R：R=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1．

點評 本題考查的是正多邊形和圓、解直角三角形；熟知正三角形、正方形和正六邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．