Question

如圖（1），正方形ABCD和正方形AEFG的邊AB和AG在同一條直線上．

（1）判斷C、A、F是否在同一條直線上，說明理由？
（2）如圖（2）以直線AB為x軸，線段AG的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知OA=AB=1，判斷點C、點F是否在同一個反比例函數(shù)的圖象上？若在，求出這個函數(shù)的解析式；若不在，說明理由．
（3）若將（2）中的條件改為0A=AB=m，請完成（2）中的問題．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB和AG在同一條直線上可求出∠EAB的度數(shù)，再由正方形的性質(zhì)可得∠EAF=∠BAC=45°，故根據(jù)∠FAC為平角可得出C、A、F三點共線；
（2）根據(jù)方格坐標(biāo)紙，可得出點C、點F的坐標(biāo)，根據(jù)點C的坐標(biāo)確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，然后代入點F的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可；
（3）用m表示出點C、點F的坐標(biāo)，然后根據(jù)點C的坐標(biāo)確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，然后代入點F的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可；

解答：解：（1）∵AB和AG在同一條直線上，
∴∠EAB=90°，
∵AF、AC分別是正方形的對角線，
∴∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠FAC=∠FAE+∠EAB+∠BAC=180°，
故C、A、F在同一條直線上．

（2）由題意得，OA=AB=1，
結(jié)合直角坐標(biāo)系可得點C的坐標(biāo)為（2，-1），點F的坐標(biāo)為（-1，2），
設(shè)過點C的反比例函數(shù)關(guān)系式為y=

k

x

，將點C代入可得：-1=

k

2

，
解得：k=-2，即反比例函數(shù)關(guān)系式為y=-

2

x

，
將點F（-1，2）代入可得：2=-

2

-1

，從而可得點F也在經(jīng)過點C的反比例函數(shù)上．
即點C、點F是否在同一個反比例函數(shù)的圖象上，這個反比例函數(shù)為y=-

2

x

．

（3）由題意得，OA=AB=m，
結(jié)合直角坐標(biāo)系可得點C的坐標(biāo)為（2m，-m），點F的坐標(biāo)為（-m，2m），
設(shè)過點C的反比例函數(shù)關(guān)系式為y=

k

x

，將點C代入可得：-m=

k

2m

，
解得：k=-2m²，即反比例函數(shù)關(guān)系式為y=-

2m2

x

，
將點F（-m，2m）代入可得：2m=-

2m2

-m

，從而可得點F也在經(jīng)過點C的反比例函數(shù)上．
即點C、點F是否在同一個反比例函數(shù)的圖象上，這個反比例函數(shù)為y=-

2m2

x

．

點評：本題考查了三點共線的證明、點的坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)換及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的知識，涉及的知識點較多，解答最后兩問的關(guān)鍵是在方格坐標(biāo)紙上得出點C及點F的坐標(biāo)．