Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點(diǎn)P、Q分別是AB邊和CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，且保持AP=CQ．設(shè)AP=x．
（1）當(dāng)PQ∥AD時(shí)，求x的值；
（2）若線段PQ的垂直平分線與BC邊相交于點(diǎn)M，設(shè)BM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若線段PQ的垂直平分線始終與BC邊相交，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可以求出AB=CD及AB∥CD，再有AD∥PQ可以得出四邊形ADQP是平行四邊形，由其性質(zhì)就可以得出DQ=CQ，從而求出CQ的值而求出PA的值；
（2）根據(jù)中垂線的性質(zhì)可以得出EP=EQ，由勾股定理就可以表示出EP²=PB²+BE²，EQ²=EC²+CQ²，由AP=x，BE=y，就可以表示出BP=8-x，EC=6-y，從而可以得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）可知y和x的函數(shù)關(guān)系式，因?yàn)榫�段PQ的垂直平分線始終與BC邊相交，即0≤x≤6，由此可求出x的取值范圍．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=8．∠A=∠D=∠C=∠B=90°．
∵PQ∥AD，
∴四邊形ADQP是平行四邊形，
∴AP=DQ．
∵AP=CQ，
∴DQ=CQ
∴DQ=

1

2

CD=4，
∴AP=4．

（2）如圖2，∵EF是線段PQ的垂直平分線，
∴EP=EQ，
在Rt△BPE和Rt△ECQ中，由勾股定理，得
EP²=PB²+BE²，EQ²=EC²+CQ²，
∵AP=x，BE=y，
∴BP=8-x，EC=6-y．
∴（8-x）²+y²=（6-y）²+x²，
∴y=

4x-7

3

；
（3）∵0≤y≤6，
∴0≤

4x-7

3

≤6，
∴

7

4

≤x≤

25

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，中垂線的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．