Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

1.求證：PC是⊙O的切線；

2.求證：BC=AB

3.點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB=4，求MN·MC的值.

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    

   ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            

   ∴∠A=∠ACO=∠PCB      ……………………………………………………1分

           ∵AB是⊙O的直徑

   ∴∠ACO+∠OCB=90°        …………………………………………………2分

          ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP     …………………………………………3分

∵OC是⊙O的半徑                     

  ∴PC是⊙O的切線          …………………………………………………4分

2.∵PC=AC  ∴∠A=∠P

         ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P   

         ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB

 ∴∠CBO=∠COB                 ……………………………………………5分

         ∴BC=OC

 ∴BC=AB             ………………………………………………………6分

3.連接MA,MB                         

         ∵點M是弧AB的中點

  ∴弧AM=弧BM  ∴∠ACM=∠BCM    ………7分    

∵∠ACM=∠ABM  ∴∠BCM=∠ABM        

         ∵∠BMC=∠BMN

         ∴△MBN∽△MCB                  

 ∴  

∴BM²=MC·MN        ……………………8分

         ∵AB是⊙O的直徑，弧AM=弧BM

         ∴∠AMB=90°,AM=BM

   ∵AB=4  ∴BM=    ………………………………………………………9分

 ∴MC·MN=BM²=8         ……………………………………………………10分

【解析】（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；

（2）AB是直徑；故只需證明BC與半徑相等即可；

（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進(jìn)而可得△MBN∽△MCB，故BM²=MN•MC；代入數(shù)據(jù)可得MN•MC=BM²=8．