Question

如圖，I為△ABC的內(nèi)心，△ABC的外接圓O，O在BC上，AD、BE、CF都經(jīng)過I點分別交⊙O于點D、E、F，EF交AB于點G，交AC于點H，IM⊥BC于M．則下列結(jié)論：①EF⊥AD；②AB+AC-BC=AI；
③AD=（IM+BC）；④S_△BIC：S_△EFI的值隨A點位置變化而變化．其中正確的是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ①②
3. C.
   ①②③
4. D.
   ③④

Answer 1

C
分析：根據(jù)內(nèi)心的定義得到∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，求出∠EAD+∠AEF=90°即可判斷①；求出三角形內(nèi)切圓的半徑是（AC+AB-BC），根據(jù)勾股定理求出AI=IH即可判斷②；求出AD=AI+ID=（AC+AB），求出（IM+BC）=（AC+AB），即可判斷③；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷④．
解答：∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，
∴弧AE+弧AF+弧CD=180°，
∴∠AGF=∠EAD+∠AEF=90°，∴①正確；
∵O在BC上，
∴∠BAC=90°，
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴CM=BM，CQ=CM，BM=BH，
∴∠IQA=∠CAB=∠IHA=90°，IQ=IH，
∴四邊形QIHA是正方形，
∴IQ=AQ=AI=IH，
∴AC-IH+AB-IH=BC，
∴IH=（AC+AB-BC），
由勾股定理得：AI=IH，
∴②正確；
AD=AI+ID=（AC+AB-BC）+BC，
=AC+AB，
（IM+BC）=[（AC+AB-BC）+BC]=AC+AB，
∴③正確；
∵∠F=∠EBC，∠FEI=∠ICM，
∴△EFI∽△CBI，
∴=，
∵BC一定，
∴④錯誤；
故選C．
點評：本題主要考查對三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外角性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線長定理，正方形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．