Question

如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．連接 BD交AE于M，連接CE交AB于N，BD與CE交點為F，連接AF．
（1）如圖1，求證：BD⊥CE；
（2）如圖1，求證：FA是∠CFD的平分線；
（3）如圖2，當(dāng)AC=2，∠BCE=15°時，求CF的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)SAS即可求得△CAE≌△BAD，求得∠ACF=∠ABD．因為∠ANC=∠BNF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可求得∠BFN=∠NAC=90°，從而證得BD⊥CE；
（2）作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．根據(jù)三角形面積公式即可求得AG=AK．根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理即可證得FA是∠CFD的平分線；
（3）根據(jù)已知條件求得∠ACN=∠ACB-∠BCE=30°=∠FBN．在Rt△ACN中，通過解直角三角形從而求得AN=

2 3

3

，CN=

4 3

3

．進(jìn)而求得BN=2-

2 3

3

． 在Rt△ACN中通過解直角三角形求得NF=

1

2

BN=

3- 3

3

．即可求得CF=CN+NF=1+

3

．

解答：（1）證明：如圖1．
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，

AC=AB ∠CAE=∠BAD AE=AD

，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∵∠ANC=∠BNF，
∴∠BFN=∠NAC=90°．
∴BD⊥CE．                           

（2）證明：如圖1，作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．
由（1）知△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，S_△CAE=S_△BAD，
∴AG=AK．
∴點A在∠CFD的平分線上．       
即 FA是∠CFD的平分線．

（3）如圖2．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∵∠BCE=15°，
∴∠ACN=∠ACB-∠BCE=30°=∠FBN．
在Rt△ACN中
∵∠NAC=90°，AC=2，∠ACN=30°，
∴AN=

2 3

3

，CN=

4 3

3

．  
∵AB=AC=2，
∴BN=2-

2 3

3

．                             
在Rt△ACN中
∵∠BFN=90°，∠FBN=30°，
∴NF=

1

2

BN=

3- 3

3

．
∴CF=CN+NF=1+

3

．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，角的平分線的判定等知識點，利用全等三角形得出線段相等和角相等是解題的關(guān)鍵．