Question

在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)y=k（x²+x-1）的圖象交于點(diǎn)A（1，k）和點(diǎn)B（-1，-k）．
（1）當(dāng)k=-2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）已知經(jīng)過原點(diǎn)O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線y=

k

x

（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形．問：平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？若能，請(qǐng)說明直線AB、CD的位置關(guān)系；若不能，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接把點(diǎn)A（1，k）代入反比例函數(shù)的解析式即可，再把k=-2代入即可；
（2）根據(jù)A、C可以無限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上，故AB與CD無法垂直，故可得出結(jié)論；
（3）先把k當(dāng)作已知條件表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A、B關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱可知當(dāng)OQ=OA=OB時(shí)，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形，由OQ²=OA²，即可得出關(guān)于k的一元二次方程，求出k的值即可．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（1，k），
∴反比例函數(shù)的解析式是y=

k

x

，
當(dāng)k=-2時(shí)，反比例函數(shù)的解析式是y=-

2

x

；

（2）當(dāng)AB、CD關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)，AB與CD互相平分且相等，ABCD是矩形．
∵A、C可以無限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上，
∴AB與CD無法垂直，
∴四邊形ABCD不能成為正方形；

（3）∵拋物線的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-

1

2

，-

5

4

k），A、B關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，
∴當(dāng)OQ=OA=OB時(shí)，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．
由OQ²=OA²，得（-

1

2

）²+（-

5

4

k）²=1²+k²，
解得k₁=

2 3

3

，k₂=-

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，難度適中．