Question

在△ABC中，A（-n，n），n滿足關(guān)于x的方程x²-8x+4n=0有兩個相等的實根，A、C關(guān)于原點對稱，C、B關(guān)于x軸對稱．
（1）點D為線段AB上一動點，DB的垂直平分線交AC于E，過點E作直線L垂直DE，在直線L上是否存在定點F滿足FE=DE？若存在，求出F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（2）設(shè)AB交y軸于G，作CH∥AB交y軸于H，P為直線BC上一點，直線PG交直線AC于Q，連接QH，求證：∠QHG=∠GHP．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)x²-8x+4n=0有兩個相等的實根，求出n=4，從而得出A、F的坐標(biāo)，作EM⊥DB于M，EN⊥AF與N，得出∠ENF=∠EMB=90°，根據(jù)AC為∠BAF的平分線，得出EM=EN，再根據(jù)∠FEN=∠DEM，證出△FEN≌△DEM，從而得出FE=DE；
（2）根據(jù)G（0，4），H（0，4），設(shè)P點坐標(biāo)（4，m），得出直線PH表達(dá)式和直線PG、直線OC的表達(dá)式，再求出PH與x軸交點R坐標(biāo)，Q點的坐標(biāo)，從而求出直線QH表達(dá)式，再求出QH與x軸交點T坐標(biāo)，得出OT=OR，最后證出△OTH≌△ORH，即可得出∠QHG=∠GHP．

解答：解：（1）∵x²-8x+4n=0有兩個相等的實根，
∴△=（-8）²-4×4n=0，
∴n=4，
∴A（-4，4），F(xiàn)（-4，-4），
作EM⊥DB于M，EN⊥AF與N，
∴∠ENF=∠EMB=90°，
∵ABCF為正方形，AC為對角線，
∴AC為∠BAF的平分線，
∴EM=EN，
∵∠FEN=90°-∠DEN，∠DEM=90°-∠DEN，
∴∠FEN=∠DEM，
在△FEN和△DEM中，

∠FEN=∠DEM ∠ENF=∠EMD EN=EM

，
∴△FEN≌△DEM（AAS），
∴FE=DE；

（2）∵G（0，4），H（0，4），
設(shè)P點坐標(biāo)（4，m），
∴直線PH表達(dá)式y(tǒng)=

m+4

4

x-4，
∴直線PG表達(dá)式y(tǒng)=

m-4

4

x+4，直線OC表達(dá)式y(tǒng)=-x，
∴PH與x軸交點R坐標(biāo)（

16

m+4

，0），Q點的坐標(biāo)（

-16

m

，

16

m

），
∴直線QH表達(dá)式y(tǒng)=

-m-4

4

x-4，
∴QH與x軸交點T坐標(biāo)（

16

m+4

，0），
∴OT=OR，
在△OTH和△ORH中，

OT=OR ∠HOT=∠HOR OH=OH

，
∴△OTH≌△ORH（SAS），
∴∠QHG=∠GHP．

點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的解析式求出線段相等，證出三角形全等．