Question

如圖，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均為整數(shù)，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，以AB為直徑作圓R，過(guò)拋物線上一點(diǎn)P作直線PD切圓R于D，并與圓R的切線AE交于點(diǎn)E，連接DR并延長(zhǎng)交圓R于點(diǎn)Q，連接AQ，AD．
（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若四邊形EARD的面積為4

3

，求直線PD的函數(shù)關(guān)系式；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形EARD的面積等于△DAQ的面積？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)abc=9，a、b、c均為整數(shù)，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，得出A、B、C的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而可用配方法求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接ER，過(guò)D作DF⊥x軸于F；由于ED、EA都是⊙O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得EA=ED，易證得△EAR≌△EDR則它們的面積相等，由此可得到S_△EAR=2

3

，即可求出EA的長(zhǎng)，也就得到了E點(diǎn)的坐標(biāo)；在Rt△EAR中，根據(jù)EA、AR的值，即可求出∠ERA的度數(shù)，進(jìn)而可求出∠DRF的度，從而在Rt△DRF中，通過(guò)解直角三角形求出RF、DF的長(zhǎng)，由此求得D點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式；（需注意的是AE的長(zhǎng)為正值，但是E點(diǎn)的縱坐標(biāo)有正負(fù)兩種情況，所以要分類討論）
（3）在△DAQ中，由于DQ是⊙M的直徑，所以DR=QR，則△DAR和△RAQ等底同高，所以面積相等，即△DAQ的面積是△DAR的2倍；在（2）題中已經(jīng)求出四邊形EARD的面積是△EAR的2倍，若四邊形EARD的面積等于△DAQ的面積，則△DAR、△EAR的面積相等，這兩個(gè)三角形共用底邊AR，所以它們的高相同，由此可證得PD與x軸平行，即PD的解析式為y=±2，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均為整數(shù)，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，
∴b，c互為相反數(shù)，|b|=|c|≤3，
∴b=3，c=-3，a=-1，
所以拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=a（x+1）（x-3），
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
所以，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=x²-2x-3，
又∵y=（x-1）²-4，
因此，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；

（2）連接ER，∵EA、ED是⊙R的兩條切線，
∴EA=ED，EA⊥AR，ED⊥RD，
在Rt△EAR和Rt△EDR中，

AE=ED ER=ER

，
∴△EAR≌△EDR（HL），
又∵四邊形EARD的面積為4

3

，
∴S_△EAR=2

3

，
∴

1

2

AR•AE=2

3

，
又∵AR=2，
∴AE=2

3

，
因此，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E₁（-1，2

3

）或E₂（-1，-2

3

），
當(dāng)E點(diǎn)在第二象限時(shí)，切點(diǎn)D在第一象限，
在直角三角形EAR中，tan∠ERA=

AE

AR

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ERA=60°，
∴∠DRB=60°，
過(guò)切點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，
∴RF=1，DF=

3

，
因此，切點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，

3

），
設(shè)直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
將E（-1，2

3

），D（2，

3

）的坐標(biāo)代入得，

3 =2k+b 2 3 =-k+b

，
解之，得：

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
所以，直線PD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

3

3

x+

5 3

3

，
當(dāng)E點(diǎn)在第三象限時(shí)，切點(diǎn)D在第四象限，
同理可求：切點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，-

3

），
直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=

3

3

x-

5 3

3

，
因此，直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

3

x+

5 3

3

或y=

3

3

x-

5 3

3

；

（3）若四邊形EARD的面積等于△DAQ的面積，
又∵S_{四邊形EARD}=2S_△EAR，S_△DAQ=2S_△ARD，
∴S_△ARD=S_△EAR，
∴E、D兩點(diǎn)到x軸的距離相等，
∵PD與⊙R相切，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)E在x軸同側(cè)，
∴切線PD與x軸平行，
此時(shí)切線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=2或y=-2，
當(dāng)y=2時(shí)，由y=x²-2x-3得，x=1±

6

；
當(dāng)y=-2時(shí)，由y=x²-2x-3得，x=1±

2

，
故滿足條件的點(diǎn)P的位置有4個(gè)，分別是P₁（1+

6

，2）、P₂（1-

6

，2）、P₃（1+

2

，-2）、P₄（1-

2

，-2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法等重要知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)，難度較大．