Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，過點C作CE⊥BD交BD于G，交BA延長線于點E，交AD于F，且EF=FD．
（1）求證：BC=FC；
（2）若AF=1，tan∠BCE=，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接BF，
∵CE⊥BD，
∴∠DGF=90°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠EAF=90°，
∴∠DGF=∠EAF=90°，
在△AFE和△GFD中，
∵，
∴△AFE≌△GFD（AAS），
∴AF=GF，
在Rt△AFB和Rt△GFB中，
∵，
∴Rt△AFB≌Rt△GFB（HL），
∴∠AFB=∠GFB，
又∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∴BC=FC；

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠BCE，
∵AF=1，tan∠BCE=，
∴AE=AF•tan∠AFE=1×=，
根據(jù)勾股定理，EF===，
∴AD=AF+FD=1+=，
設(shè)BC=x，∵tan∠BCE=，
∴BE=BC•tan∠BCE=x，
CE=x，
由（1）可知FC=BC=x，
∴x=+x，
解得x=5，
∴AB=BE-AE=×5-=3，
∴S_梯形ABCD=×（+5）×3=．
分析：（1）連接BF，利用“角角邊”證明△AFE和△GFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=GF，再利用“HL”證明Rt△AFB和Rt△GFB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AFB=∠GFB，根據(jù)梯形的對邊AD∥BC，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠AFB=∠CBF，再根據(jù)等角對等邊即可得證；
（2）根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠AFE=∠BCE，然后解直角三角形求出AE、EF的長，從而可以求出AD的長，再設(shè)BC=x，解直角三角形表示出BE、CE，再根據(jù)CE=EF+CF列出方程求解得到BC的值，再求出AB的值，然后根據(jù)梯形的面積公式列式進行計算即可得解．
點評：本題考查了直角梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，（2）利用解直角三角形表示出三角形的邊的長，然后列出方程求出BC的長是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．