Question

【題目】如圖，直線與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，設運動時間為t秒，以點A為頂點的拋物線經過點E，過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F．

（1）求點A，點B的坐標；

（2）用含t的代數式分別表示EF和AF的長；

（3）當四邊形ADEF為菱形時，試判斷△AFG與△AGB是否相似，并說明理由．

（4）是否存在t的值，使△AGF為直角三角形？若存在，求出這時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（0，）；（2）EF=t，AF=4﹣2t；（3）相似；（4）．

【解析】（1）在直線中，令y=0可得，解得x=2，令x=0可得y=，∴A為（2，0），B為（0，）；

（2）由（1）可知OA=2，OB=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∵運動時間為t秒，∴BE=t，∵EF∥x軸，∴在Rt△BEF中，EF=BEtan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；

（3）相似．理由如下：

當四邊形ADEF為菱形時，則有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t=，∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE==，如圖，過G作GH⊥x軸，交x軸于點H，則四邊形OEGH為矩形，∴GH=OE=，又EG∥x軸，拋物線的頂點為A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得==，又AFAB=×4=，∴AFAB=AG2，即，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；

（4）存在，∵EG∥x軸，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G點不能在拋物線的對稱軸上，∴∠FGA≠90°，∴當△AGF為直角三角形時，則有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t=，即當t的值為秒時，△AGF為直角三角形，此時OE=OB﹣BE===，∴E點坐標為（0，），∵拋物線的頂點為A，∴可設拋物線解析式為，把E點坐標代入可得=4a，解得a=，∴拋物線解析式為．