Question

【題目】已知中，，，點(diǎn)，分別在邊，上（不與端點(diǎn)重合），，射線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，.

（1）（觀察猜想）如圖1，點(diǎn)在射線上，當(dāng)時(shí)，

①線段與的數(shù)量關(guān)系是______；

②的度數(shù)是______；

（2）（探究證明）如圖2點(diǎn)在射線上，當(dāng)時(shí)，判斷并證明線段與的數(shù)量關(guān)系，求的度數(shù)；

（3）（拓展延伸）如圖3，點(diǎn)在直線上，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)是邊上的三等分點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）；（3）滿足條件的的長(zhǎng)為或4.

【解析】

（1）①延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)O，先由等邊對(duì)等角得到，然后證明，即可得到BM=AN；②再由等邊對(duì)等角和平行線推出，由三角形外角性質(zhì)得到，可推出，即可得.

（2）同理可證，同（1）可推出 ，最后得到.

（3）當(dāng)時(shí)，作于，在中，利用60°可求出邊長(zhǎng)，然后在在中求出BM，再由，利用相似比求出CF，當(dāng)時(shí)，同法可求.

（1）①如圖1中，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)O.

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴；

②∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∵∠ANB+∠ENF=180°，∠BMA+∠BMC=180°，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

故答案為①，②.

（2）如圖2中，設(shè)交于點(diǎn).

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴.

（3）①如圖3-1中，當(dāng)時(shí)，作于.

由題意，在中，

∵，，

∴，，，

在中，，

由（2）可知：，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

②如圖3-2中，當(dāng)時(shí)，同法可得.

綜上所述，滿足條件的的長(zhǎng)為或4.