已知，點O為等邊三角形ABC的內心，直線m過點O，過A、B、C三點分別作直線m的垂線，垂足分別為點D、E、F．當直線m與BC平行時（如圖1），易證：BE+CF=AD，

當直線m繞點O旋轉到與BC不平行時，圖2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AD、BE、CF之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

解：圖2結論：BE+CF=AD
證明：連接AO并延長交BC于點G，作GH⊥EF于點H，
由圖1可得AO=2•OG
∵AD∥GH，∴△ADO∽△GHO．∴AD=2•GH
連接FG并延長交EB的延長線于點M，
△BMG≌△CFG，BM=CF，MG=FG
∵GH∥EM，∴△FHG∽△FEM．∴BE+BM=2•GH
∴BE+CF=AD
圖3結論：CF-BE=AD
分析：連接AO并延長交BC于點G，作GH⊥EF于點H，由圖1可得AO=2•OG，進而可以證明△ADO∽△GHO得AD=2•GH，連接FG并延長交EB的延長線于點M，即可求證△FHG∽△FEM，即可求得BE+CF=AD，即可解題．
點評：本題考查了相似三角形的傳遞性，考查了相似三角形對應邊比值相等的性質，考查了全等三角形的判定，本題中求證△FHG∽△FEM是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知邊長為5的等邊三角ABC紙片，點E在AC邊上，點F在AB邊上，沿著EF折疊，使點A落在BC邊上的點D的位置，且ED⊥BC，則CE的長是
 
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0,2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側作等邊三角線APQ。當點P運動到原點O處時，記Q得位置為B。
（1）求點B的坐標；
（2）求證：當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值；
（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

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科目：初中數(shù)學 來源：2012屆山東勝利七中九年級中考二模數(shù)學試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側作等邊三角線APQ．當點P運動到原點O處時，記Q的位置為B．
（1）求點B的坐標；
（2）求證：當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，∠ABQ為定值；

（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：2011年初中畢業(yè)升學考試（湖南長沙卷）數(shù)學 題型：解答題

．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0,2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側作等邊三角線APQ。當點P運動到原點O處時，記Q得位置為B。
（1）求點B的坐標；
（2）求證：當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值；
（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

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科目：初中數(shù)學 來源：2011年初中畢業(yè)升學考試（湖北黃岡卷）數(shù)學 題型：解答題

．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0,2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側作等邊三角線APQ。當點P運動到原點O處時，記Q得位置為B。

（1）求點B的坐標；

（2）求證：當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值；

（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

 

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