Question

如圖，在⊙O中，弦AD、BC相交于點E，連結(jié)OE，已知AD=BC，AD⊥CB．
（1）求證：AB=CD；
（2）如果⊙O的半徑為5，DE=1，求AE的長．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系,勾股定理,正方形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）欲證明AB=CD，只需證得

AB

=

CD

；
（2）如圖，過O作OF⊥AD于點F，作OG⊥BC于點G，連接OA、OC．構(gòu)建正方形EFOG，利用正方形的性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理來求AF的長度，則易求AE的長度．

解答：（1）證明：如圖，∵AD=BC，
∴

AD

=

BC

，
∴

AD

-

BD

=

BC

-

BD

，即

AB

=

CD

∴AB=CD；

（2）解：如圖，過O作OF⊥AD于點F，作OG⊥BC于點G，連接OA、OC．
則AF=FD，BG=CG．
∵AD=BC，
∴AF=CG．
在Rt△AOF與Rt△COG中，

AF=CG OA=OC

，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF=OG，
∴四邊形OFEG是正方形，
∴OF=EF．
設(shè)OF=EF=x，則AF=FD=x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x²+（x+1）²=5²，
解得 x=3．
則AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．

點評：本題考查了勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，垂徑定理以及圓周角、弧、弦間的關(guān)系．注意（2）中輔助線的作法．