Question

如圖，在同一直角坐標系中，正比例函數(shù)y₁=kx與反比例函數(shù)y₂=的圖象分別交于第一、第三象限的點B，D，已知點A（-a，0），C（a，0）．
（1）直接判斷并填寫：四邊形ABCD的形狀一定是______；
（2）①當點B坐標為（p，2）時，四邊形ABCD是矩形，試求p、k和a的值；
　　 ②直接寫出不等式kx的解集；
（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

解：（1）四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；

（2）①過B點作BE⊥x軸于E點，如圖，
把B（p，2）代入y₂=，
∴p==，
∴B點坐標為（，2），
∴OB===，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴a=，
把B（，2）代入y₁=kx得2=k，
解得k=，
②點D與點B關于原點對稱，點D的坐標為（-，-2），
等式kx的解集為-＜x＜0或x＞；

（3）四邊形ABCD不能是菱形．理由如下：
因為反比例函數(shù)圖象與坐標軸沒交點，即B點與點D不可能在y軸上，
所以BD與AC不可能垂直，
所以四邊形ABCD不能是菱形．
分析：（1）由點A（-a，0），C（a，0）得OA=OC，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象關于原點中心對稱，得到OB=OD，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）①過B點作BE⊥x軸于E點，把B（p，2）代入y₂=，可求出p=，則B點坐標為（，2），再利用勾股定理計算OB===，再根據(jù)矩形的性質得
OB=OC，得到a=，然后把B（，2）代入y₁=kx可求出k的值；
②先得到反比例函數(shù)的性質得到點D的坐標為（-，-2），然后觀察圖象得到當-＜x＜0或x＞時，正比例函數(shù)y₁=kx的圖象都在反比例函數(shù)y₂=的圖象的上方；
（3）由于比例函數(shù)圖象與坐標軸沒交點，即B點與點D不可能在y軸上，而點A、點C在x軸上，則BD與AC不可能垂直，根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形ABCD不能是菱形．
點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)圖象為雙曲線，關于原點中心對稱；點在圖象上，點的坐標滿足其解析式；掌握平行四邊形、菱形的判定與性質和勾股定理．