Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y＝ax²＋bx－3（a≠0）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為5．點(diǎn)P是直線(xiàn)AB下方的拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段PD的長(zhǎng)，并求出線(xiàn)段PD長(zhǎng)的最大值；
②連結(jié)PB，線(xiàn)段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形的面積比為1:2．若存在，直接寫(xiě)出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）①；；②0或3.

試題分析：（1）在y=x+1中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1；當(dāng)y=5時(shí)，x=4，依此可得A與B的坐標(biāo)；將A與B坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式求出a與b的值，即可確定出拋物線(xiàn)解析式；
（2）①設(shè)直線(xiàn)AB與y軸交于點(diǎn)E，由CP與y軸平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE與OA的長(zhǎng)，得出sin∠AEO的值，即為sin∠ACP的值，由P的橫坐標(biāo)為m，分別代入直線(xiàn)與拋物線(xiàn)解析式得到兩個(gè)縱坐標(biāo)之差為PC的長(zhǎng)，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PD的最大值即可；
②存在，過(guò)D作DF⊥CP，過(guò)B作BG⊥PQ，交PC延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)Q，表示出DF與BG，進(jìn)而表示出三角形DCP面積與三角形BCP面積，根據(jù)面積之比為1：2列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．
試題解析：（1）在中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1；當(dāng)y=5時(shí)，x=4．
∴A(-1，0)、B(4，5) .
將A(-1，0)、B(4，5)分別代入y＝ax²＋bx－3中，得
，解得．
∴所求解析式為.
（2）①設(shè)直線(xiàn)AB交y軸于點(diǎn)E，求得E（0，1），∴OA=OE，∠AEO=45°,∠ACP=∠AEO="45°,"
∴． 
設(shè)，則，
∴．
∴．
∴PD的最大值為．
②當(dāng)m=0或m=3時(shí)，PC把△PDB分成兩個(gè)三角形的面積比為1:2．
如圖，過(guò)D作DF⊥CP，過(guò)B作BG⊥PQ，交PC延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)Q，
∵sin∠ACP=，∴cos∠ACP=.
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=.
又∵BG=4-m，
∴.
當(dāng)時(shí)，解得：m=0；
當(dāng) 2時(shí)，解得：m=3．
故當(dāng)m=0或m=3時(shí)，PC把△PDB分成兩個(gè)三角形的面積比為1：2．