Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A，
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，cosC=，BC=5，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證BC是⊙O的切線；只需證明OB⊥BC即可，根據(jù)角之間的互余關(guān)系易得證明；
（2）首先由（1）得出三角形OBC是直角三角形，再由cosC=，BC=5，求出CO和OB，即可求得AB，再由OC∥AD和∠DBC=∠A證得△OBC∽△ADB，從而求得AD的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠A=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠DBA=90°，
∴BC為⊙O切線；

（2）解：由（1）得△OBC為直角三角形，
又∵cosC=，BC=5，
∴在Rt△OBC中，cosC=，
∴CO===，
∴OB==，
∴AB=．
∵OC∥AD，
∴∠BOC=∠A，
∠CBO=∠ADB=90°，
∴△OBC∽△ADB，
∴=，
∴AD===．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理及解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)角之間的互余關(guān)系證明BC是⊙O的切線；再者是由已知解直角三角形且通過相似三角形求AD的長(zhǎng)．