Question

3．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，E是邊BC上的動點，BF⊥AE交CD于點F，垂足為G，連結(jié)CG．下列說法：
①AG＞GE；②AE=BF；③點G運動的路徑長為$\frac{π}{4}$；④CG的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$-1．
其中正確的說法是②③．（把你認(rèn)為正確的說法的序號都填上）

Answer 1

分析 根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)可得出當(dāng)E移動到與C重合時，F(xiàn)點和D點重合，此時G點為AC中點，故①錯誤；
求得∠BAE=∠CBF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角邊”證明△ABE和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得AE=BF，判斷出②正確；
根據(jù)題意，G點的軌跡是以AB中點O為圓心，AO為半徑的圓弧，然后求出弧的長度，判斷出③正確；
由于OC和OG的長度是一定的，因此當(dāng)O、G、C在同一條直線上時，CG取最小值，根據(jù)勾股定理求出最小CG長度．

解答 解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，
∴∠AGB保持90°不變，
∴G點的軌跡是以AB中點O為圓心，AO為半徑的圓弧，
∴當(dāng)E移動到與C重合時，F(xiàn)點和D點重合，此時G點為AC中點，
∴AG=GE，故①錯誤；

∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBF}\\{∠ABE=∠BCF=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴故②正確；

∵當(dāng)E點運動到C點時停止，
∴點G運動的軌跡為$\frac{1}{4}$圓，
圓弧的長=$\frac{1}{4}$×π×1=$\frac{π}{4}$，故③正確；

由于OC和OG的長度是一定的，因此當(dāng)O、G、C在同一條直線上時，CG取最小值，
OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
CG的最小值為OC-OG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1}{2}$，故④錯誤；
綜上所述，正確的結(jié)論有②③．
故答案為②③．

點評 本題考查了四邊形綜合題，其中涉及到了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，弧長的計算，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并求出△ABE和△BCF全等是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．