Question

已知：如圖所示，在銳角∠MAN的邊AN上取一點B，以AB為直徑的半圓O交AM于C，交∠MAN的角平分線于E，過點E作ED⊥AM，垂足為D，反向延長ED交AN于F。
（1）猜想ED與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若cos∠MAN=，AE=，求陰影部分的面積。

Answer 1

證明：（1）DE與⊙O相切，
理由如下：連結OE，
∵AE平分∠MAN，
∴∠1=∠2，
∵OA=OE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OE∥AD，
∴∠OEF=∠ADF=90°，
即OE⊥DE，垂足為E，
又∵點E在半圓O上，
∴ED與⊙O相切；
（2）∵cos∠MAN=，
∴∠MAN=60°，
∴∠2=∠MAN=×60°=30°，∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°，
∴∠2=∠AFD，
∴EF=AE=，
在Rt△OEF中，tan∠OFE=，
∴tan30°=，
∴OE=1，
∵∠4=∠MAN=60°，
∴S_陰=

=。