【題目】如圖,矩形ABCD的邊AD是菱形AEDF的一條對(duì)角線,且點(diǎn)E在矩形ABCD的邊BC上.
(1)求證:△ABE≌△DCE;
(2)直接寫(xiě)出當(dāng)矩形邊長(zhǎng)AD與AB之間滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí),菱形AEDF為正方形.

【答案】(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠C=90°,AD=BC,
∵四邊形AEDF是菱形,
∴AE=DE,
在Rt△ABE和Rt△DCE中,,
∴Rt△ABE≌Rt△DCE(HL);
(2)解:當(dāng)AD=2AB時(shí),菱形AEDF為正方形;理由如下:
∵Rt△ABE≌Rt△DCE,
∴BE=CE,∠AEB=∠DEC,
∵AD=2AB,AD=BC,
∴AB=BE,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴∠AEB=45°,
∴∠DEC=45°,
∴∠AED=180°﹣45°﹣45°=90°,
∴菱形AEDF為正方形.
【解析】(1)由矩形的性質(zhì)得出AB=DC,∠B=∠C=90°,由菱形的性質(zhì)得出AE=DE,由HL證明Rt△ABE≌Rt△DCE即可;
(2)由全等三角形的性質(zhì)得出BE=CE,∠AEB=∠DEC,由AD=2AB,證出△ABE是等腰直角三角形,得出∠AEB=45°,證出∠AED=90°,即可得出菱形AEDF為正方形.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解矩形的性質(zhì)(矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等).

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