Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為半圓上的三等分點(diǎn)，在直徑AB所在的直線上找一點(diǎn)P，連接CP交⊙O于點(diǎn)Q，使PQ=OQ，則∠CPO=

20°或40°或100°

．

Answer 1

分析：已知如圖，連接OC，根據(jù)條件可得：∠A0C=60°，設(shè)∠CPO=x°，由隱藏條件：OQ=OC可得∠OCQ=∠CQO，再利用三角形外角和定理可建立關(guān)于x的方程，求出x的值即可得問(wèn)題答案，本題還有其他兩種情況，解答過(guò)程同上．

解答：解：①當(dāng)P在直線AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示：
連接OC，
設(shè)=x°，
∵PQ=OQ，
∴∠OQP=∠CPO=x°，
∴∠CQO=2x°，
∵OQ=OC，
∴∠OCQ=∠CQO=2x°，
∵點(diǎn)C為半圓上的三等分點(diǎn)，
∴∠AOC=60°，
∴x+2x=60，
∴x=20°，
∴∠CPO=20°，
②當(dāng)P在直線BA延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPO=40°；
③當(dāng)P在線段AB上時(shí)，∠CPOO=100°，
故答案為：20°或40°或100°

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角和所對(duì)弧之間的數(shù)量關(guān)系和三角形的外角和定理，根據(jù)n°的圓心角對(duì)著n°的弧以及一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，得圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半即可解決問(wèn)題．