Question

如圖①，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，F(xiàn)是AC邊上一點（點F與A、C不重合），以CF為邊在△ABC外作正方形CDEG，連接BF、AD，則有結(jié)論：BF=AD，BF⊥AD．

問題解決：
將圖①中的正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜360°），得如圖②、圖③的情形．
（1）若圖②中BF交AD于點O，試判斷：BF=AD，BF⊥AD是否仍然成立，并結(jié)合圖②證明你的判斷；
（2）在正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，以A、C、F為頂點的三角形與△BCF能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）①證△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出結(jié)論；②證△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出結(jié)論；
（2）如圖4，當△ACF≌△BCF時，就可以得出∠ACF=∠BCF，由∠ACB=90°據(jù)可以得出a的值，如圖5，當△ACF≌△BCF時，就可以得出∠ACF=∠BCF，由∠ACB=90°據(jù)可以得出∠ACF的值而得出a的值．

解答：解：（1）BF=AD，BF⊥AD仍然成立，
理由：如圖②∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠FCD=90°，
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，
∴∠BCF=∠ACD，
在△BCF和△ACD中

BC=AC ∠BCF=∠ACD CF=CD

，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，
∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BF⊥AD；
（2）如圖4，當△ACF≌△BCF時，
∴∠ACF=∠BCF

點評：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點的應用，關(guān)鍵是推出△BCF≌△ACD，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，有一定的難度．