Question

7．一個長為10、寬為2的矩形紙條ABCD，沿圖（1）所示方式折疊，∠DEF=30°，折痕為EF，ED′與BC交于點G，得到圖（2），在圖（2）中，過點G作GM⊥EF，點M為垂足，將紙條沿GM再次折疊，折痕GM兩旁的部分能完全重合，如圖（3），則AE的長為5-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖1中，延長CF交AD于H，連接HG交EF于M，作EK⊥BC于K，先證明四邊形EGFH是菱形，四邊形ABKE是矩形，設(shè)AE=x，根據(jù)AE+EG+BK+KG=10列出方程即可解決．

解答 解：如圖1中，延長CF交AD于H，連接HG交EF于M，作EK⊥BC于K．

∵EH∥GF，EG∥HF，
∴四邊形EGHF是平行四邊形，
∵∠DEF=∠EFB=∠FEG=30°，
∴GE=FG，
∴四邊形EGFH是菱形，∠HEG=60°，
∴EH=EG=GF=FH，
∴△EGH，△HGF都是等邊三角形．設(shè)AE=x，
∵∠A=∠B=∠EKB=90°，
∴四邊形ABKE是矩形，
∴AE=BK=x，AB=EK=2，
在RT△EKG中，∵∠KEG=30°，EK=2，
∴KG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EG=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵AE+DE=AE+ED′=AE+EG+BG=AE+EG+BK+KG=10，
∴x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=10，
x=5-$\sqrt{3}$．
故答案為5-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查翻折變換、矩形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形中30度角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用方程的思想去思考，屬于中考常考題型．