Question

如圖，矩形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF交CD于點(diǎn)G．若G是CD的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是　　．

Answer 1

7【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)．

【專題】幾何圖形問(wèn)題．

【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明△DEG和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=CF，EG=FG，設(shè)DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BC=AD．

【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中點(diǎn)，AB=8，

∴CG=DG=×8=4，

在△DEG和△CFG中，

，

∴△DEG≌△CFG（ASA），

∴DE=CF，EG=FG，

設(shè)DE=x，

則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，

在Rt△DEG中，EG==，

∴EF=2，

∵FH垂直平分BE，

∴BF=EF，

∴4+2x=2，

解得x=3，

∴AD=AE+DE=4+3=7，

∴BC=AD=7．

故答案為：7．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．