Question

16．如圖，已知AB是半圓O的直徑，點P是半圓上一點，連結(jié)BP，并延長BP到點C，使PC=PB，連結(jié)AC．
（1）求證：AB=AC．
（2）若AB=4，∠ABC=30°．
①求弦BP的長．②求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AP，由圓周角定理可知∠APB=90°，故AP⊥BC，再由PC=PB即可得出結(jié)論；
（2）①先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AP的長，再由勾股定理可得出PB的長；
②連接OP，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出△PAB的度數(shù)，由圓周角定理求出∠POB的長，根據(jù)S_陰影=S_扇形BOP-S_△POB即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AP，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC．
∵PC=PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB=AC；

（2）解：①∵∠APB=90°，AB=4，∠ABC=30°，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴BP=$\sqrt{{AB}^{2}-{AP}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；

②連接OP，
∵∠ABC=30°，
∴∠PAB=60°，
∴∠POB=120°．
∵點O時AB的中點，
∴S_△POB=$\frac{1}{2}$S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AP•PB=$\frac{1}{4}$×2×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_扇形BOP-S_△POB
=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\sqrt{3}$
=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是扇形面積的計算，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．