Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”．已知拋物線y=-與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．

（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為______，點(diǎn)A的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．

（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱(chēng)軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+；（-2，2）；（1，0）；（2）N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2-3）或（，）

【解析】

（1）由“夢(mèng)想直線”的定義可求得其解析式，聯(lián)立直線與拋物線的解析式可求得A,B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)“夢(mèng)想三角形”的定義，分當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)和當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)兩種情況討論即可.

解（1）由“夢(mèng)想直線”的定義得，拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為y=-x+，

聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得，解得或，

∴A（-2，2），B（1，0），

故答案為：y=-x+；（-2，2）；（1，0）；

（2）當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，△AMN為夢(mèng)想三角形，

如圖1，過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則AD=2，

在y=-x2-x+2中，令y=0可求得x=-3或x=1，

∴C（-3，0），且A（-2，2），

∴AC==，

由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN==3，

∵OD=2，

∴ON=2-3或ON=2+3，

當(dāng)ON=2+3時(shí)，則MN＞OD＞CM，與MN=CM矛盾，不合題意，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2-3）；

當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)，則M與O重合，過(guò)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，如圖2，

在Rt△AMD中，AD=2，OD=2，

∴tan∠DAM==，

∴∠DAM=60°，

∵AD∥x軸，

∴∠AMC=∠DAO=60°，

又由折疊可知∠NMA=∠AMC=60°，

∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，

∴MP=MN=，NP=MN=，

∴此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

綜上可知N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2-3）或（，）；