Question

（2009•北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-6，0），B（6，0），C（0，4），延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D，使CD=AC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，分別連接DF、EF，若過(guò)B點(diǎn)的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；
（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短．（要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）借助△DMC∽△AOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先說(shuō)明四邊形CDFE是菱形，且其對(duì)稱(chēng)中心為對(duì)角線的交點(diǎn)M，則點(diǎn)B與這一點(diǎn)的連線即為所求的直線，再結(jié)合全等三角形性質(zhì)說(shuō)明即可，由點(diǎn)B、M的坐標(biāo)求得直線BM的解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)A作MB的垂線，該垂線與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)G，再結(jié)合由OB、OM的長(zhǎng)設(shè)法求出∠BAH，借助三角函數(shù)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵A（-6，0），C（0，4）
∴OA=6，OC=4
設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)M
由DE∥AB可得△DMC∽△AOC
又∵CD=AC
∴
∴CM=2，MD=3
同理可得EM=3
∴OM=6
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，6）；

（2）由（1）可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，6）
由DE∥AB，EM=MD
可得y軸所在直線是線段ED的垂直平分線
∴點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F在y軸上
∴ED與CF互相垂直平分
∴CD=DF=FE=EC
∴四邊形CDFE為菱形，且點(diǎn)M為其對(duì)稱(chēng)中心
作直線BM，設(shè)BM與CD、EF分別交于點(diǎn)S、點(diǎn)T，
可證△FTM≌△CSM
∴FT=CS，
∵FE=CD，
∴TE=SD，
∵EC=DF，
∴TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS，
∴直線BM將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，
由點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)M（0，6）在直線y=kx+b上，可得直線BM的解析式為y=-x+6．

（3）確定G點(diǎn)位置的方法：過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BM于點(diǎn)H，則AH與y軸的交點(diǎn)為所求的G點(diǎn)
由OB=6，OM=6，
可得∠OBM=60°，
∴∠BAH=30°，
在Rt△OAG中，OG=AO•tan∠BAH=2，
∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為．（或G點(diǎn)的位置為線段OM的中點(diǎn)）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圖形的性質(zhì)和坐標(biāo)的確定，是綜合性較強(qiáng)，難度較大的綜合題，其中本題第三問(wèn)是難點(diǎn)，學(xué)生主要不會(huì)確定點(diǎn)G的位置．